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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数的图象,直线PB是一次函数的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点。

  (1)用分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数;

  (2)若四边形PQOB的面积是,且CQ:AO=1:2,试求点P的坐标,并求出直线PA与PB的函数表达式;

  (3)在(2)的条件下,是否存在一点D,使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。

 

【答案】

(1)点A(,0) ,点B(,o), 点P,45°(2)PA的函数表达式为,PB的函数表达式为,(3)

【解析】解:(1)在直线中,令,得.  ∴点A(,0).……1分

在直线中,令,得.  ∴点B(,o).……1分

 得    ∴点P

在直线中,令,得,∴,即有AO=QO.

  又∠AOQ=90°,∴∠PAB=45°.    ……1分

(2)∵,AO=CO,而CQ:AO=1:2

过点P作PE垂直x轴于点E.

                           ……2分

(舍去).得.∴P().

∴PA的函数表达式为,PB的函数表达式为.    ……1分

  (3)存在.

  过点P作直线PM平行于x轴,过点B作AP的平行线交PM于点,过点A作BP的平行线交PM于点,过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点

  ①∵∥AB且∥AP,∴是平行四边形.此时,易得

  ②∵∥AB且∥BP,∴是平行四边形.此时,易得

③∵∥AP且∥BP,此时是平行四边形.∵∥AP且B(2,O),∴。同理可得

  得       ∴         ……3分

(1)已知直线解析式,令y=0,求出x的值,可求出点A,B的坐标.联立方程组求出点P的坐标.推出AO=QO,可得出∠PAB=45°.

(2)先根据CQ:AO=1:2得到m、n的关系,然后求出S△AOQ,S△PAB并都用字母m表示,根据

S四边形PQOB=S△PAB-S△AOQ积列式求解即可求出m的值,从而也可求出n的值,继而可推出点P的坐标以及直线PA与PB的函数表达式.

(3)本题要依靠辅助线的帮助.求证相关图形为平行四边形,继而求出D1,D2,D3的坐标.

 

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BD
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k
x
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