Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AC上一点，CG⊥BD于点G，点E在BD上，且BE=CG，点F是AB的中点，连接FE，FG，FC
（1）求证：△FCG≌△FBE；
（2）如果AB=3$\sqrt{2}$，AD=2，求EG的长．

Answer 1

分析 （1）由“8字型”证明∠OBF=∠OCG，利用等腰直角三角形的性质证明CF=BF，根据SAS即可证明；
（2）在Rt△ABC中，由CB=CA，AB=3$\sqrt{2}$，可得CB=CA=3，由AD=2，推出CD=1，在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，CG=$\frac{BC•CD}{BD}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，推出BG=$\sqrt{B{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{10}}{10}$，由BE=CG=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，根据EG=BG-BE计算即可．

解答 （1）证明：设CF交BD于O．
∵CA=CB，∠ACB=90°，BF=AF，
∴AF⊥AB，CF=BF=AF，
∵CG⊥BD，
∴∠CGO=∠BFO=90°，
∵∠BOF=∠COG，
∴∠OCG=∠OBF，
在△FCG和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=BE}\\{∠FCG=∠FBE}\\{CF=BF}\end{array}\right.$，
∴△FCG≌△FBE．

（2）在Rt△ABC中，∵CB=CA，AB=3$\sqrt{2}$，
∴CB=CA=3，
∵AD=2，
∴CD=1，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，CG=$\frac{BC•CD}{BD}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴BG=$\sqrt{B{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{10}}{10}$，
∵BE=CG=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴EG=BG-BE=$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$，

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．