Question

1．如图，点E在直线BH、DC之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠DCE-∠HAE=90°．
（1）如图1，求证：BH∥CD．
（2）如图2，延长CE交直线BH于F，点M为AE上一点，且∠MCE=∠AFC．求证：∠MCD=2∠FAE．
（3）如图3，点N在BH、CD之间，∠BAN：∠EAN=∠DCN：∠ECN=1：2，点K为射线AB上一点（K不与A重合，且在直线CN与AB交点的右侧，即∠KNC＜180°），NS平分∠KNA交直线BA于S，NP平分∠KNC交直线BA于P．
求证：∠DCN+∠APN-∠ANS=45°．

Answer 1

分析 （1）延长AE交DC于F，根据AE⊥CE垂直可得∠CEF=90°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DCE-∠AFD=∠CEF=90°，从而得到∠HAE=∠AFD，再根据内错角相等，两直线平行即可得证；
（2）延长AE交DC的延长线于点G，由（1）得，BH∥CD，∠FAE=∠CGE，根据AE⊥CE可知∠CEG=90°，由三角形外角的性质得出∠DCM+∠MCE=∠CGE+90°，即∠DCM+∠MCE=∠FAE+90°，再根据∠MCE=∠AFC=90°-∠FAE即可得出结论；
（3）延长CE交BA的延长线于点Q，延长PN交CD的延长线为M，根据，∠BAN：∠EAN=∠DCN：∠ECN=1：2，∠DCE-∠HAE=90°及平角定义，可得出∠BAN+∠DCN=90°，根据平行线的性质、三角形外角的性质，可得到∠APN+∠DCN=∠PNC=2∠ANS+∠ANP，③根据∠BAN=∠ANP+∠APN，∠BAN+∠DCN=90°，可得出∠ANP+∠APN+∠DCN=90°④，利用③+④，可推得∠APN+∠DCN=∠ANS+45°的关系，即得出结论．

解答 （1）证明：如图，延长AE交DC于F，
∵AE⊥CE，
∴∠CEF=90°，
根据三角形的外角性质，∠DCE-∠AFD=∠CEF=90°，
又∵∠DCE-∠HAE=90°，
∴∠HAE=∠AFD，
∴BH∥CD；

（2）证明：延长AE交DC的延长线于点G，
∵由（1）得，BH∥CD，
∴∠FAE=∠CGE．
∵AE⊥CE，
∴∠AEF=∠CEG=90°，
∴∠AFC=90°-∠FAE．
∵∠DCE是△CEG的外角，
∴∠DCM+∠MCE=∠CGE+90°，即∠DCM+∠MCE=∠FAE+90°，
∴∠MCE=∠AFC=90°-∠FAE，
∴∠DCM+90°-∠FAE=∠FAE+90°，即∠MCD=2∠FAE；

（3）证明：延长CE交BA的延长线于点Q，延长PN交CD的延长线为M，
∵∠BAN：∠EAN=1：2，
∴∠5+2∠5+∠1=180°    ①
∵∠DCN：∠ECN=1：2，∠DCE-∠HAE=90°，
∴∠2+2∠2-∠1=90°   ②
由①+②，得   3∠5+3∠2=270°，
∴∠5+∠2=90°
∵AB∥CD，
∴∠APN=∠NMC，
又∵∠NMC+∠2=∠6，
∴∠APN+∠2=∠6
∵NP平分∠KNC，NS平分∠KMA，
∴∠KNA=2∠4，∠6=2∠4+∠3，
∴∠APN+∠2=2∠4+∠3    ③
∵∠5=∠3+∠APN，∠5+∠2=90°，
∴∠3+∠APN+∠2=90°   ④
③+④，化简得：∠APN+∠2=∠4+45°，
∴∠APN+∠2-∠4=45°，即：∠DCN+∠APN-∠ANS=45°．

点评 本题主要考查了平行线的性质及判断、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，添加合适的辅助线是解决此题的关键．对于第（3）小题，理清各角之间的联系是重中之重．