Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝﹣+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，顶点为M．

（1）求该抛物线的表达式与点M的坐标；

（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y轴交于点C(点C在点B的下方)，且△BCM的面积为3．新抛物线的对称轴l经过点A，直线l与x轴交于点D．

①求点A随抛物线平移后的对应点坐标；

②点E、G在新抛物线上，且关于直线l对称，如果正方形DEFG的顶点F在第二象限内，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；顶点M的坐标是：(2，6)；（2）①点A对应点的坐标为(﹣6，﹣5)；②F(﹣2，)．

【解析】

（1）根据抛物线y＝﹣+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，从而可以求得抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点M的坐标；

（2）①根据新抛物线的对称轴l经过点A，可得新抛物线的顶点为(-2,k)，设平移后新抛物线的解析式为，可得C点坐标，由面积列方程求出k，从而可以得到点A随抛物线平移后的对应点坐标；

②根据题意和正方形的性质，设F(﹣2，2a)、E(﹣2+a，a)．将E代入（2）的解析式中即可求出a，继而解题．可以求得点F的坐标．

解：（1）将A(﹣2，﹣2)、B(0，4)代入中，

解得

∴该抛物线的表达式为：；

∵y＝x2+2x+4＝(x﹣2)2+6，

∴顶点M的坐标是：(2，6)；

（2）①∵平移后抛物线的对称轴经过点A(﹣2，﹣2)，

∴可设平移后的抛物线表达式为：，

∴C(0，﹣2+k)．

∴，

解得，k＝3．

∴，

即原抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位可以得到新的抛物线．

∴点A对应点的坐标为(﹣6，﹣5)；

②设EG与DF的交点为H． 在正方形DEFG中，EG⊥DF，EG＝DF＝2EH＝2DH．

∵点E、G是这条抛物线上的一对对称点，

∴EG∥x轴．

∴DF⊥x轴，

设F(﹣2，2a)．

∵点F在第二象限内，

∴a＞0．

∴EG＝DF＝2EH＝2DH＝2a．

不妨设点E在点G的右侧，那么E(﹣2+a，a)．

将点E代入，得，

解得，，(不合题意，舍去)．

∴F(﹣2，)．