Question

7．如图，在?ABCD中，E是CD的中点，AE是延长线交BC的延长线于F，分别连接AC，DF，解答下列问题：
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若DC平分∠ADF，试确定四边形ACFD是什么特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和中点的性质，易得∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，AE=CE，继而证得：△ADE≌△FCE．
（2）由第（1）问中△ADE≌△FCE，易得AD=CF，又由AD∥CF，即可证得四边形ACFD是平行四边形，再证出DF=CF，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
又∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠F}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\\{∠D=∠ECF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；

（2）解：若DC平分∠ADF，则四边形ACFD是菱形；理由如下：
∵△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，
又∵AD∥CF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵DC平分∠ADF，
∴∠ADC=∠CDF，
∴∠FCD=∠CDF，
∴DF=CF，
∴四边形ACFD是菱形．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．