Question

20．如图，在平行四边形ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F，连接BE、CF，过点A作AP∥BC，交DC的延长线于点P．
（1）求证：BE∥CF；
（2）当∠P满足什么条件时，四边形BECF是菱形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）证明四边形BECF是平行四边形，即可得出结论；
（2）∠P=90°时，四边形BECF是菱形．先判断出四边形ABCP是平行四边形，根据平行四边形的对角相等可得∠ABC=∠P，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=CE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形BECF是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．

解答 （1）证明：∵四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，AC∥BD，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴CE=BF，
又∵CE∥BF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∴BE∥CF；
（2）解：∠P=90°时，四边形BECF是菱形．理由如下：
在?ABCD中，AB∥CD，
∵AP∥BC，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∴∠ABC=∠P=90°，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴BF=CE，
又∵AC∥BD，
∴四边形BECF是平行四边形，
∴四边形BECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．