Question

2．如图，直径为10的⊙O经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x²+kx+48=0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC²=CD•CB时，求C点的坐标；
（3）在⊙O上是否存在点P，使S_△POD=S_△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系写出OA+OB和OA•OB的值．连接AB，根据90°的圆周角所对的弦是直径，再结合勾股定理列方程求解．
（2）若OC²=CD•CB，则三角形OCB相似于三角形DCO，则∠COD=∠CBO．又∠COD=∠CBA，则∠CBO=∠CBA，所以点C是弧OA的中点．连接O′C，根据垂径定理的推论，得O′E⊥OA．再进一步根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．
（3）首先求得直线BC的解析式，求得D的坐标，根据面积相等即可求得P的纵坐标，根据圆的直径即可作出判断．

解答 解：（1）连接AB，
∵∠BOA=90°，
∴AB为直径，根与系数关系得OA+OB=-k，OA×OB=48；
根据勾股定理，得OA²+OB²=100，
即（OA+OB）²-2OA×OB=100，
解得：k²=196，
∴k=±14（正值舍去）．
则有方程x²-14x+48=0，
解得：x=6或8．
又∵OA＞OB，
∴OA=8，OB=6；

（2）若OC²=CD×CB，则△OCB∽△DCO，
∴∠COD=∠CBO，
又∵∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
所以点C是弧OA的中点．
连接O′C交OA于点D，根据垂径定理的推论，得O′C⊥OA，
根据垂径定理，得OD=4，
根据勾股定理，得O′D=3，
故CD=2，即C（4，-2）；

（3）设直线BC的解析式是y=kx+b，把B（0，6），C（4，-2）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{4k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$．
则直线BC的解析式是：y=-2x+6，
令y=0，
解得：x=3，
则OD=3，AD=8-3=5，
故S_△ABD=$\frac{1}{2}$×5×6=15．
若S_△ABD=S_△OBD，P到x轴的距离是h，
则$\frac{1}{2}$×3h=15，解得：h=10．
而⊙O′的直径是10，因而P不能在⊙O′上，
故P不存在．

点评 本题考查了圆的综合题目，涉及了一元二次方程的根与系数的关系，二次函数解析式的确定、图形的面积求法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，注意所学知识的融会贯通．