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    13．（1）问题解决
    如图（1），AD是等边三角形△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转30°，交边AB于点M，交射线AC于点N，试证明：△AMN∽△DMA；
    （2）问题变式
    如图（2），AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC（x，y≠0）．求证：x+y=2xy；
    （3）问题拓展
    如图（3），AD是△ABC的中线，当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M′，交射线AC于点N′，设AG=nAD，AM′=x′AB，AN′=y′AC（x′，y′≠0），试探究x′、y′之间的数量关系？并说明理由．

    分析 （1）由△ABC是等边三角形，AD是△ABC的中线，可得∠MAD=30°，∠ACD=60°，BC边所在直线绕点D顺时针旋转30°，可得∠CDN=30°，DCN=120°，可得∠ANM=30°，由∠AMD=∠NMA，即可得出△AMN∽△DMA．
    （2）作CF∥AB交MN于点F，可得△CFN∽△AMN，易证△CFD≌△BMD，可得BM=CF．由$\frac{AN-AC}{AN}$=$\frac{BM}{AM}$=$\frac{AB-AM}{AM}$，可得出$\frac{y-1}{y}$=$\frac{1-x}{x}$，即x+y=2xy；
    （3）过点D作M′N′的平行线，交直线AB于点M，交直线AC于点N，由三角形相似得$\frac{AM′}{AM}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AN′}{AN}$，设AM=xAB，AN=yAC，可得$\frac{x′}{x}$=n=$\frac{y′}{y}$，即x=$\frac{x′}{n}$，y=$\frac{y′}{n}$，结合（2）知x+y=2xy；即可得nx′+ny′=2x′y′．

    解答 证明：（1）如图1，

    ∵△ABC是等边三角形，AD是等边三角形△ABC的中线，
    ∴∠MAD=30°，∠ACD=60°，
    ∵将BC边所在直线绕点D顺时针旋转30°，
    ∴∠CDN=30°，DCN=120°，
    ∴∠ANM=30°，
    ∵∠AMD=∠NMA，
    ∴△AMN∽△DMA；
    （2）如图2，作CF∥AB交MN于点F，

    ∴△CFN∽△AMN，
    ∴$\frac{NC}{NA}$=$\frac{CF}{AM}$，
    ∵AD是△ABC的中线，
    ∴BD=CD，
    ∵CF∥AB，
    ∴∠DBM=∠DCF，∠DMB=∠DFC，
    在△CFD和△BMD中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠DMB=∠DFC}\\{∠DBM=∠DCF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
    ∴△CFD≌△BMD，
    ∴BM=CF．
    ∴$\frac{AN-AC}{AN}$=$\frac{BM}{AM}$=$\frac{AB-AM}{AM}$，
    ∴$\frac{yAC-AC}{yAC}$=$\frac{AB-xAB}{xAB}$，即$\frac{y-1}{y}$=$\frac{1-x}{x}$，
    ∴x+y=2xy；
    （3）x′、y′之间的数量关系为：nx′+ny′=2x′y′．
    理由如下：
    如图3，过点D作M′N′的平行线，交直线AB于点M，交直线AC于点N，

    则$\frac{AM′}{AM}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AN′}{AN}$，设AM=xAB，AN=yAC，
    ∴$\frac{x′}{x}$=n=$\frac{y′}{y}$，
    即x=$\frac{x′}{n}$，y=$\frac{y′}{n}$，
    由（2）知x+y=2xy；
    ∴$\frac{1}{x′}$+$\frac{1}{y′}$=$\frac{2}{n}$．即nx′+ny′=2x′y′．

    点评 本题主要考查了相似形综合题．涉及相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用三角形相似．

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