【题目】直线MN与线段AB相交于点O,点C、点D分别为射线ON,OM上两点,且满足∠ACN=∠ODB=45°.
(1)如图1,当点C与点O重合时,且AO=OB,请直接写出AC与BD的数量关系;
(2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转α°(0<a<45),如图2所示,若AO=OB,(1)中的AC与BD的数量关系是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若AO=kOB.
①请求出的值;
②若k=,∠AOC=30°,BD=3,请直接写出OC的长.
【答案】(1)AC=BD;(2)成立;(3)①k;②;
【解析】
(1)先根据∠BOD和∠BDO的度数,判断DB与OB的数量关系以及位置关系,再得出AO与BD的数量关系与位置关系;
(2)先分别过点A,B作AE⊥MN于E,BF⊥MN于F,通过判定△AOE≌△BOF,得到AE=BF,由∠ACN=∠BDN=45°,得∠AEC=∠BFD=90°,求出AC=AE,BD=BF,得出AC与BD的数量关系;
(3)分别过点A,B作AE⊥MN于E,BF⊥MN于F,由△AEO∽△BFO,得,再求出AC=AE,BD=BF,得出AC与BD的比值.在Rt△ACE中,∠ACE=45°,AE=CE=2,在Rt△AOE中,∠AOE=30°,可得OE=AE=2,可得到OC.
解:(1)∵点O和点C重合,
∴AC=OA.∠AON=∠ACN=45°,
∵∠BDO=∠ACN=45°,
∴∠BDO=∠BOD=45°,
∴BD=OB,
∵OA=OB,
∴AC=BD;
(2)成立,理由:如图2,分别过点A,B作AE⊥MN于E,BF⊥MN于F,
∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°,
在△AOE和△BOF中,,
∴△AOE≌△BOF,
∴AE=BF,
∵∠ACN=∠BDN=45°,
∴∠AEC=∠BFD=90°,
∴AC=AE,BD=BF,
∴AC=BD;
(3)①如图3,分别过点A,B作AE⊥MN于E,BF⊥MN于F,
∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°,
∵∠AOE=∠BOF,
∴△AEO∽△BFO,
∴=k,
∵∠ACN=∠BDN=45°,
∴∠AEC=∠BFD=90°,
∴AC=AE,BD=BF,
∴=k;
②如图3,由①知, =k,
∵k=,BD=3,
∴AC=2,
在Rt△ACE中,∠ACE=45°,
∴AE=CE=2,
在Rt△AOE中,∠AOE=30°,
∴OE=AE=2,
∴OC=2(﹣1).
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【题目】如图 1,在平面直角坐标系中,直线l1:yx5与x轴,y轴分别交于A.B两点.直线l2:y4xb与l1交于点 D(-3,8)且与x轴,y轴分别交于C、E.
(1)求出点A坐标,直线l2的解析式;
(2)如图2,点P为线段AD上一点(不含端点),连接CP,一动点Q从C出发,沿线段CP 以每秒1个单位的速度运动到点P,再沿着线段PD以每秒个单位的速度运动到点D停止,求点Q在整个运动过程中所用最少时间与点P的坐标;
(3)如图3,平面直角坐标系中有一点G(m,2),使得SCEGSCEB,求点G的坐标.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点E在⊙O上,C为的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC,BC.
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=2,AC=,求AB的长.
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【题目】某水池的容积为90m3,水池中已有水10m3,现按8m3/h的流量向水池注水.
(1)写出水池中水的体积y(m3)与进水时间t(h)之间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围;
(2)当t=1时,求y的值;当V=50时,求t的值.
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【题目】如图,在△ABC中,已知点D在线段AB的反向延长线上,过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E,交BC于G,且AE∥BC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)若AE=8,AB=10,GC=2BG,求△ABC的周长.
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【题目】一个寻宝游戏的寻宝通道如图①所示,通道由在同一平面内的AB,BC,CA,OA, OB,OC组成。为记录寻宝者的行进路线,在BC的中点M处放置了一台定位仪器,设寻宝者行进的时间为x,寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进,且表示y与x的函数关系的图像大致如图②所示,则寻宝者的行进路线可能为:
A. A→O→B B. B→A→C C. B→O→C D. C→B→O
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【题目】如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,P点在BC边上的高AD上,且,BP的延长线交AC于E,若S△ABC=10,则S△ABE=_____;S△DEC=_____.
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