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8.如图,正方形ABCD中,点P为CD上一点,线段AP的垂直平分线MN交BD于点N,点M为垂足,交两边于点E、F,连接PN,则下列结论,其中正确的有(  )
①∠DNP=∠DAP;
②PC=$\sqrt{2}$BN;
③$\frac{DP+DC}{DN}$为常数;
④MN=MF+NE.
A.1个B.2个C.3个D.4个

分析 ①正确;过N作ST‖BC分别交AB、DC于S、T,则ST⊥AB,先证明△BSN是等腰直角三角形,得出SA=TN,再由AN=PN,证明Rt△ASN≌Rt△NTP,得出∠SAN=∠TNP,证出∠ANP=90°,得出∠PAN=45°,∠DAP=45°-∠SAN,再由∠DNT=∠BNS=45°,得出∠DNP=45°-∠TNP,即可得出∠DNP=∠DAP;
②正确;PC=PT+TC=SN+SB,△BSN是等腰直角三角形,SB=SN,即可得出PC=SN+SB=$\sqrt{2}$BN;
③正确;设正方形ABCD的边长为a,得出DP+DC=$\sqrt{2}$($\sqrt{2}$a-BN),DN=BD-BN═$\sqrt{2}$a-BN,即可得出结论;
④正确;过P作AD的平行线交MN于K,证出MF=MK,NE=NK,即可得出结论.

解答 解:①正确;过N作ST‖BC分别交AB、DC于S、T,如图所示:
则ST⊥AB,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=ST,∠BAD=90°,∠ABD=45°,
∴△BSN是等腰直角三角形,
∴SB=SN,∠BNS=45°,
∴SA=TN,
∵线段AP的垂直平分线MN交BD于点N,
∴AN=PN,
在△RtASN和Rt△NTP中,
$\left\{\begin{array}{l}{AN=PN}&{\;}\\{SA=TN}&{\;}\end{array}\right.$,
∴Rt△ASN≌Rt△NTP(HL),
∴∠SAN=∠TNP,
∵∠SAN+∠ANS=90°,
∴∠TNP+∠ANS=90°,
∴∠ANP=90°,
∴∠PAN=45°,
∴∠SAN+∠DAP=45°,
∴∠DAP=45°-∠SAN,
∵∠DNT=∠BNS=45°,
∴∠DNP=∠DNT-∠PNT=45°-∠TNP,
∴∠DNP=∠DAP;
②正确;由①得:PC=PT+TC=SN+SB,△BSN是等腰直角三角形,SB=SN,
∴PC=SN+SB=$\sqrt{2}$BN;
③正确;设正方形ABCD的边长为a,
则DP+DC=2a-PC=2a-$\sqrt{2}$BN=$\sqrt{2}$($\sqrt{2}$a-BN),
DN=BD-BN═$\sqrt{2}$a-BN,
∴$\frac{DP+DC}{DN}$=$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}a-BN)}{\sqrt{2}a-BN}$=$\sqrt{2}$;
④正确;过P作AD的平行线交MN于K,如图所示:
∵AM=PM,
∴MF=MK,
由①得:PT=SN=SB=CT,TN∥BC∥PK,
∴NE=NK,
∴MN=MF+NE;
综上所述:正确的结论有4个.
故选:D.

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质;本题难度较大,综合性强,特别是需要通过作辅助线证明三角形全等、等腰直角三角形以及中点才能得出结论.

练习册系列答案
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18.如图,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过格点A、B、C.
(1)画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法,保留作图痕迹),并连接AD、CD.
(2)请在(1)的基础上,完成下列问题:
①以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,写出点的坐标:C(6,2)、D(2,0);
②⊙D的半径为2$\sqrt{5}$(结果保留根号);
③若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面,则该圆锥的底面圆半径是$\frac{\sqrt{5}}{2}$;
④若E(7,0),试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.

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19.△ABC内分别有1个点,2个点,3个点,…,连同三角形的三个顶点,没有三点在同一直线上,试通过画图探究这些点可以把三角形分割成几个互不重叠的小三角形:

(1)图①中,当△ABC内只有1个点时,可分割成3个互不重叠的小三角形.
(2)图②中,当△ABC内只有2个点时,可分割成5个互不重叠的小三角形.
(3)图③中,当△ABC内只有3个点时,可分割成7个互不重叠的小三角形.
(4)根据以上规律,请猜测当△ABC内有n(n为正整数)个点时,可以把△ABC分割成2n+1个互不重叠的三角形.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

16.问题情境:
如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离.
探究:
请您结合图2给予证明,
归纳:
圆外一点到圆上各点的最短距离是:这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离.
图中有圆,直接运用:
如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是$\widehat{CD}$上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是$\sqrt{7}$-1.
图中无圆,构造运用:
如图4,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连接A′C,请求出A′C长度的最小值.
解:由折叠知A′M=AM,又M是AD的中点,可得MA=MA'=MD,故点A'在以AD为直径的圆上.如图8,以点M为圆心,MA为半径画⊙M,过M作MH⊥CD,垂足为H,(请继续完成下列解题过程)
迁移拓展,深化运用:
如图6,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是$\sqrt{5}$-1.

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3.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆,公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如表关系:
 x 300030503100 31503200 32503300 
 y 10099 9897 9695 94
(1)观察表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y(辆)与每辆车的月租金x(元)之间的关系式
(2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车辆每月需要维护费50元,当租金定为3500元时,试求公司月收益为多少?
(3)根据市场调查报告,公司需要使每月出租的车辆不低于80辆,若你是该公司的经理,你会将每辆车的月租金定为多少元,才能使公司获得最大月收益?请求出公司的最大月收益是多少元.

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科目:初中数学 来源: 题型:选择题

13.图1为一张三角形ABC纸片,点P在BC上,将A折至P时,出现折痕BD,其中点D在AC上,如图2所示,若△ABC的面积为80,△ABD的面积为30,则AB与PC的长度之比为(  )
A.3:2B.5:3C.8:5D.13:8

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20.如图,?ABCD中,DP⊥AB于P,且PD2=AP•PB,△BCD的面积和周长分别为24和24,求PD的长.

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17.因式分解:
(1)m(a2+b2)+n(a2+b2);
(2)18(a-b)3-12b(b-a)2
(3)(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b);
(4)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2

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18.如图,在四边形ABCD中,AB=4$\sqrt{3}$,∠DAB=90°,∠B=60°,AC⊥BC,
(1)求AC的长;
(2)若AD=2,求CD的长.

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