Question

如图1，已知⊙O₁、⊙O₂内切于点P，⊙O₁的弦AB交⊙O₂于C、D两点，连接PA、PC、PD、PB，设PB与⊙O₂交于点E．
（Ⅰ）求证：PA•PE=PC•PD；
（Ⅱ）若将题中“⊙O₁、⊙O₂内切于点P”改为“⊙O₁、⊙O₂外切于点P”，其它条件不变，如图2，那么（Ⅰ）中的结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题要证的实际是△ADP和△CEP相似．连接CE，已知了∠CEP=∠ADP（圆周角定理），只需再找出一组相等的对应角即可．过P作两圆的公切线，那么根据弦切角∠BPG在不同圆中对应的不同的圆周角可得出A=∠ECP，由此可证得两三角形相似．即可得出要证的结论；
（2）结论仍成立，证法和（1）完全一样．
（本题中也可通过证△ADP∽△CEP，来得出所求的结论．证法同上面的类似）．

解答：证明：（1）证法一：
过点P作⊙O₁、⊙O₂的公切线FG，连接CE．
在⊙O₁中，∠GPB=∠A，
在⊙O₂中，∠GPB=∠ECP，
∴∠A=∠ECP．
又∵∠ADP=∠CEP，
∴△ADP∽△CEP．
∴

PA

PC

=

PD

PE

．
即PA•PE=PD•PC；
证法二：
过点P作⊙O₁、⊙O₂的公切线FG，
连接DE．
在⊙O₁中，∠GPB=∠A，
在⊙O₂中，∠GPB=∠EDP，
又∵四边形CDEP为⊙O₂的内接四边形，
∴∠ACP=∠DEP．
∴△ACP∽△DEP．
∴

PA

PD

=

PC

PE

．
即PA•PE=PD•PC；

（II）结论仍然成立．
证法一：
过点P作⊙O₁、⊙O₂的内公切线FG，
连接CE．
在⊙O₁中，∠FPB=∠A，
在⊙O₂中，∠GPE=∠PCE，
而∠GPE=∠FPB，
∴∠A=∠PCE．
又∵∠ADP=∠CEP，
∴△ADP∽△CEP．
∴

PA

PC

=

PD

PE

．
即PA•PE=PD•PC；
证法二：
过点P作⊙O₁、⊙O₂的内公切线FG，
连接DE．
在⊙O₁中，∠FPB=∠A，
在⊙O₂中，∠GPE=∠PDE，
而∠GPE=∠FPB，
∴∠A=∠PDE．
又∵∠ACP=∠DEP，
∴△ACP∽△DEP．
∴

PA

PD

=

PC

PE

．
即PA•PE=PD•PC．

点评：本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，弦切角定理等知识点．
通过作两圆的公切线来证与所求线段相关的三角形相似是解题的关键．