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    18．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
    （1）求证：AP是⊙O的切线；
    （2）若AC=3，填空：
    ①当$\widehat{BC}$的长为$\frac{\sqrt{3}}{3}$π时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；
    ②当$\widehat{BC}$的长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π时，△ABC的面积最大，最大面积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

    分析 （1）首先连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线；
    （2）①AB是直径时，四边形ADBC是矩形；②△ABC是等边三角形时，△ABC的面积最大；

    解答 （1）证明：连接OA．
    ∵∠B=60°，
    ∴∠AOC=2∠B=120°，
    又∵OA=OC，
    ∴∠ACP=∠CAO=30°，
    ∴∠AOP=60°，
    ∵AP=AC，
    ∴∠P=∠ACP=30°，
    ∴∠OAP=90°，
    ∴OA⊥AP，
    ∴AP是⊙O的切线，

    （2）①连接AD，∵∠ADC=∠B=60°，CD是直径，
    ∴∠DAC=90°，∵AC=3，
    ∴AD=$\sqrt{3}$，CD=2$\sqrt{3}$，OC=$\sqrt{3}$，
    当AB是直径时，四边形ADBC是矩形，此时$\widehat{BC}$=$\frac{60π•\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$π．
    ②∵∠B=60°，
    ∴当BA=BC时，△ABC的面积最大，此时△ABC是等边三角形，
    ∴$\widehat{BC}$=$\frac{120π•\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×32=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

    点评 本题考查切线的判定、矩形的判定．等边三角形的判定和性质、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

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    ①∠CBD=∠CEB；②$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$；③点F是BC的中点；④若$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{2}$，tanE=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$．
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    A．128°B．90°C．52°D．38°

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    3．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．

    问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；
    小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：
    由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
    所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
    即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
    由“外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
    所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
    所以2∠APC=∠B+∠C．
    请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；
    解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由；
    解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为∠P=90°+$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）．

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