Question

【题目】如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，过B作BG∥DE交AD于G，BG与AF交于点M．对于下列结论：①AF⊥DE；②G是AD的中点；③∠GBP＝∠BPE；④S△AGM：S△DEC＝1：4．正确的个数是（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据正方形性质得出；；，证≌，推出，求出即可判断；证明四边形GBED为平行四边形，则可知正确；由平行线的性质可得正确；证明∽，可得出：：则不正确．

解：∵正方形ABCD，E，F均为中点

∴AD＝BC＝DC，EC＝DF＝BC，

∵在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴∠AFD＝∠DEC，

∵∠DEC+∠CDE＝90°，

∴∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DGF，

∴AF⊥DE，故①正确，

∵，，

∴四边形GBED为平行四边形，

∴GD＝BE，

∵BE＝BC，

∴GD＝AD，

即G是AD的中点，

故②正确，

∵，

∴∠GBP＝∠BPE，

故③正确．

∵，AF⊥DE，

∴AF⊥BG，

∴∠ANG＝∠ADF＝90°，

∵∠GAM＝∠FAD，

∴△AGM∽△AFD，

设AG＝a，则AD＝2a，AF＝a，

∴．

∵△ADF≌△DCE，

∴S△AGM：S△DEC＝1：5．

故④错误．

故选：C．