Question

2．如图，边长为a的正方形ABCD中，E，F是边AD，AB上两点（与端点不重合），且AE=BF，连接CE，DF相交于点M．
（1）当E为边AD的中点时，则DF的长为$\frac{\sqrt{5}}{2}$a（用含a的式子表示）；
（2）求证：∠MCB+∠MFB=180°；
（3）点M能成为DF的中点吗？如果能，求出此时CM的长（用含a的式子表示），如果不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）当E为边AD的中点时，则F也是AB的中点，在Rt△ADF中，利用勾股定理求出DF的长；
（2）首先利用全等三角形的判定方法利用SAS证明△ADF≌△DCE，得到∠ADF=∠DCE，进而得出∠DME=90°，于是得到结论；
（3）假设点M成为DF的中点，利用垂直平分线的性质得到DC=CF，进而得到结论与题意不符．

解答 解：（1）∵E为边AD的中点，
∴F也为边AB边的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△ADF中，
AD²+AF²=DF²，
∴DF=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a；

（2）∵在正方形ABCD中，
∴AB=BC=CD=AD，
又∵AE=BF，
∴AF=DE，
∵∠CDE=∠A=90°，
∴△ADF≌△DCE，
∴∠ADF=∠DCE，
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠ADF+∠DEC=90°，
∴∠DME=90°，
∴∠MCB+∠MFB=180°；

（3）假设点M成为DF的中点，
∵∠DME=90°，
∴DF⊥CE，
∵M成为DF的中点，
∴CM是DF的垂直平分线，
∴DC=CF，
∵DC=BC≠CF，
∴点M不能成为DF的中点．

点评 此题主要考查了四边形的综合题，涉及到正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和反证法的应用等知识，得出△ADF≌△DCE，从而得出相应等量关系是解决问题的关键．