Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.

（1）求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线解析式为y=a +9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5，
∴a=﹣1， y=﹣ +9=- +4x+5
（2）解：当y=0时，- +4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣ +4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），
∴PD=- +4x+5+x﹣5=- +5x， ∵AC=4， ∴S四边形APCD= ×AC×PD=2（- +5x）=-2 +10x，
∴当x= 时， ∴S四边形APCD最大= ，
（3）解：如图，

过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5，
∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2 ， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∴点M1 ， M2关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7，
∴10+b=13或10+b=3 ∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）
【解析】（1）设出二次函数的顶点式y=a ( x 2 ) 2 +9，，把点A(0，5)代入解析式，即可求出解析式；（2）最值问题可利用函数思想解决，以P横坐标为自变量x，四边形APCD的面积为函数，构建关系式，配成顶点式，求出最大值;（3）可利用平行四边形的性质，对边平行且相等，即MN∥AE，MN=AE，△HMN≌△AOE，可求出MN 的解析式，利用两点间距离公式建立方程，求出坐标.