Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于B，直线AD的解析式为：y=ax+1与反比例函数y=

m

x

（a≠0，m≠0）交于A、D两点，已知tan∠AOB=

2 3

3

，三角形ABO的面积S_△ABO=

3

．
求：（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOD的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）根据三角形面积公式和正切的定义得到

AB

OB

=

2 3

3

，

1

2

AB•OB=

3

，求出AB=2，OB=

3

，则可确定A点坐标为（-

3

，2），然后把A点坐标分别代入y=ax+1和反比例函数y=

m

x

，即可得到反比例函数与一次函数的解析式；
（2）先解由反比例函数与一次函数的解析式所组成的方程组得到D点坐标，再求出直线y=-

3

3

x+1与x轴的交点坐标为（

3

，0），然后利用S_△AOD=S_△AOC+S_△DOC计算即可．

解答：解：（1）∵tan∠AOB=

2 3

3

，三角形ABO的面积S_△ABO=

3

，
∴

AB

OB

=

2 3

3

，

1

2

AB•OB=

3

，
∴AB=2，OB=

3

，
∴A点坐标为（-

3

，2），
把A（-

3

，2）代入y=

m

x

得m=-

3

×2=-2

3

，
∴反比例函数解析式为y=-

2 3

x

；
把A（-

3

，2）代入y=ax+1得2=-

3

a+1，解得a=-

3

3

，
∴一次函数的解析式y=-

3

3

x+1；
（2）解方程组

y=- 3 3 x+1 y=- 2 3 x

得

x=- 3 y=2

或

x=2 3 y=-1

，
则点D的坐标为（2

3

，-1），
直线y=-

3

3

x+1与x轴的交点坐标为（

3

，0），
则S_△AOD=S_△AOC+S_△DOC=

1

2

×

3

×2+

1

2

×

3

×1=

3 3

2

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法求函数解析式和三角形面积公式．