Question

4．如图，点P（a，b）是第一象限内一点，若满足2ab=1，直线y=-x+1交x轴于点A，交y轴于点B，过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，直线y=-x+1分别交PM、PN于点E，F，则AF•BE的值是1．

Answer 1

分析 根据已知条件求得M、N的坐标，那么N的坐标和M点的坐标都可以用a表示，那么BN、NF的长度也可以用a表示，接着F点、E点的坐标也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．

解答 解：由直线y=-x+1可知，A（1，0），B（0，1），
∴OA=OB=1，
∴∠ABO=45°
∵点P（a，b），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，b），M点的坐标为（a，0），
∵2ab=1，
∴b=$\frac{1}{2a}$，
∴N的坐标为（0，$\frac{1}{2a}$），
∴BN=1-$\frac{1}{2a}$，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°，
∴NF=BN=1-$\frac{1}{2a}$，
∴F点的坐标为（1-$\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{2a}$），
同理可得出E点的坐标为（a，1-a），
∴AF²=（-$\frac{1}{2a}$）²+（$\frac{1}{2a}$）²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF²•BE²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$•2a²=1，
即AF•BE=1．
故答案为1．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据已知确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．