Question

3．如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：
①CD=CP=CQ；
②∠PCQ的大小不变；
③△PCQ面积的最小值为$\frac{4\sqrt{3}}{5}$；
④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，
其中所有正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 ①由折叠直接得到结论；
②由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意义求出∠PCQ=120°；
③先作出△PCQ的边PC上的高，用三角函数求出QE=$\sqrt{3}$CQ，得到S_△PCQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD²，判断出△PCQ面积最小时，点D的位置，求出最小的CD=CF，即可；
④先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ=60°，即可．

解答 解：①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP=CD=CQ，
∴①正确；
②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠PCQ=360°-（∠ACP+BCQ+∠ACB）=360°-（120°+120°）=120°，
∴∠PCQ的大小不变；
∴②正确；
③如图，

过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，
∵∠PCQ=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△QCE中，sin∠QCE=$\frac{QE}{CQ}$，
∴QE=CQ×sin∠QCE=CQ×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CQ，
∵CP=CD=CQ
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}$CP×QE=$\frac{1}{2}$CP×$\frac{\sqrt{3}}{2}$CQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CD²，
∴CD最短时，S_△PCQ最小，
即：CD⊥AB时，CD最短，
过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，
∵AC=BC=4，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC=2，
即：CD最短为2，
∴S_△PCQ最小=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CD²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
∴③错误，
④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，
∵∠DAC=30°，
∴∠APD=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD=AD，∠ADP=60°，
同理：△BDQ是等边三角形，
∴DQ=BD，∠BDQ=60°，
∴∠PDQ=60°，
∵当点D在AB的中点，
∴AD=BD，
∴PD=DQ，
∴△DPQ是等边三角形．
∴④正确，
故答案为：①②④．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，锐角三角函数，极值的确定，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出∠PCQ=120°是个定值；（其实这个题目中还有∠PDQ=60°也是定值），解本题的难点是确定出△PCQ面积最小时，点D的位置．