分析 (1)由OA=OD得∠A=∠ODA,再由∠CBD+∠CDB=90°,∠A=∠CBD可得∠ODA+∠CDB=90°,即∠ODB=90°,于是根据切线的判定定理可判断BD为⊙O的切线;
(2)连结DE,如图,根据圆周角定理,由AE为直径得到∠ADE=90°,设AD=8t,AO=5t,AE=10t,则利用勾股定理计算出DE=6t,于是利用余弦的定义得到cosA=$\frac{4}{5}$,接着证明△ADE∽△ACB得到$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$,则利用比例性质得$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{3}{4}$,所以AC=$\frac{4}{3}$BC=$\frac{8}{3}$,然后在△BCD中,利用cos∠CBD=cosA=$\frac{4}{5}$=$\frac{BC}{BD}$可计算出BD.
解答 解:(1)BD与⊙O的位置关系为相切.理由如下:
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA,
∵∠C=90°,
∴∠CBD+∠CDB=90°,
而∠A=∠CBD,
∴∠ODA+∠CDB=90°,
∴∠ODB=90°,
∴OD⊥BD,
∴BD为⊙O的切线;
(2)连结DE,如图,
∵AE为直径,
∴∠ADE=90°,
∵AD:AO=8:5,
∴设AD=8t,AO=5t,AE=10t,
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=6t,
∴cosA=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{8t}{10t}$=$\frac{4}{5}$,
∵∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB,
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$,
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{6t}{8t}$=$\frac{3}{4}$,
∴AC=$\frac{4}{3}$BC=$\frac{4}{3}$×2=$\frac{8}{3}$,
∵∠A=∠CBD,
∴cos∠CBD=cosA=$\frac{4}{5}$=$\frac{BC}{BD}$,
∴BD=$\frac{5}{4}$BC=$\frac{5}{2}$.
点评 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
原料 | 甲 | 乙 |
维生素 | 600单位 | 100单位 |
原料价格 | 8元 | 4元 |
A. | $\left\{\begin{array}{l}{600x+100x≥4200}\\{8(10-x)+4(10-x)≤72}\end{array}\right.$ | B. | $\left\{\begin{array}{l}{600x+100(10-x)≥4200}\\{8x+4(10-x)≤72}\end{array}\right.$ | ||
C. | $\left\{\begin{array}{l}{600x+100x>4200}\\{8(10-x)+4(10-x)<72}\end{array}\right.$ | D. | $\left\{\begin{array}{l}{600x+100x<4200}\\{8(10-x)+4(10-x)>72}\end{array}\right.$ |
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