解：（1）令y=0，则-x-1=0，
解得x=-1，
所以，点A的坐标为（-1，0），
设抛物线解析式为y=ax
2+bx+c，
∵B（3，0），C（0，-3）在抛物线上，
∴
，
解得
，
所以，抛物线解析式为y=x
2-2x-3；
（2）∵P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，
∴设点P（x，-x-1），则点E的坐标为（x，x
2-2x-3），
PE=（-x-1）-（x
2-2x-3），
=-x-1-x
2+2x+3，
=-x
2+x+2，
=-（x-
）
2+
，
联立
，
解得
，
，
所以，点D的坐标为（2，-3），
∵P是线段AD上的一个动点，
∴-1＜x＜2，
∴当x=
时，PE有最大值，最大值为
；
（3）∵y=x
2-2x-3=（x-1）
2-4，
∴点F的坐标为（1，-4），点G的横坐标为1，
y=-1-1=-2，
∴点G的坐标为（-1，-2），
∴GF=-2-（-4）=-2+4=2，
∵四边形GFEP为平行四边形，
∴PE=GF，
∴-x
2+x+2=2，
解得x
1=0，x
2=1（舍去），
此时，y=-1，
∴点P的坐标为（0，-1），
故，存在点P（0，-1），使得四边形GFEP为平行四边形；
（4）存在．理由如下：
①当点H在x轴下方时，∵点Q在x轴上，
∴HD∥AQ，
∴点H的纵坐标与点D相同，是-3，
此时，x
2-2x-3=-3，
整理得，x
2-2x=0，
解得x
1=0，x
2=2（舍去），
∴HD=2-0=2，
∵点A的坐标为（-1，0），
-1-2=-3，-1+2=1，
∴点Q的坐标为（-3，0）或（1，0）；
②当点H在x轴上方时，根据平行四边形的对称性，点H到AQ的距离等于点D到AQ的距离，
∵点D的纵坐标为-3，
∴点H的纵坐标为3，
∴x
2-2x-3=3，
整理得，x
2-2x-6=0，
解得x
1=1-
，x
2=1+
，
∵点A的横坐标为-1，点D的横坐标为2，
2-（-1）=2+1=3，
根据平行四边形的性质，1-
+3=4-
，1+
+3=4+
，
∴点Q的坐标为（4-
，0）或（4+
，0），
综上所述，存在点Q（-3，0）或（1，0）或（4-
，0）或（4+
，0），使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形．
分析：（1）先根据直线解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式计算即可得解；
（2）根据直线解析式表示出点P的坐标，利用抛物线解析式表示出点E的坐标，再用点P的纵坐标减去点E的纵坐标，整理即可得到PE的表达式，再联立直线解析式与抛物线解析式求出点D的坐标，得到点P的横坐标的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）把抛物线的解析式转化为顶点式，然后求出点F的坐标，并利用对称轴根据点P在直线上求出点G的坐标，然后根据平行四边形的对边平行且相等列式解方程即可判断并求出点P的坐标；
（4）①当点H在x轴下方时，根据平行四边形的对边平行且相等，可得点H的纵坐标与点D的纵坐标相等，然后代入抛物线解析式求出点H的横坐标，再求出HD的长度，然后分点Q在点A的左边与右边两种情况求出点Q的坐标；
②当点H在x轴上方时，AQ只能是平行四边形的对角线，根据点D的坐标得到点H的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出点H的横坐标，然后根据点H的横坐标表示的点到点Q的距离等于点D的横坐标表示的点到点A的距离相等求解即可．
点评：本题综合考查了二次函数，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题，以及平行四边形的性质，（4）要注意根据点H的位置的不同分情况讨论．
如图，直线AD对应的函数关系式为y=-x-1，与抛物线交于点A（在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，-3），
