Question

22、如图所示，O为等边△ABC内任意一点，OD∥BC，OE∥AC，OF∥AB，并且D、E、F分别在AB、BC、AC上，求证：OD+OE+OF=BC．

Answer 1

分析：延长DO交AC于G，延长FO交BC于H，根据已知条件可得∠OHE=∠B=60°，∠OEH=∠C=60°，则△OHE是等边三角形，得出HE=OE；易证四边形DOHB和四边形OGCE都是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得DO=BH，OG=EC；又由于BC=BH+HE+EC，所以BC=DO+OG+HE=OD+OE+OF．

解答：证明：延长DO交AC于G，延长FO交BC于H．
∵OD∥BC，OE∥AC，OF∥AB，△ABC是等边三角形，
∴∠OHE=∠B=60°，∠OEH=∠C=60°，
且四边形DOHB和四边形OGCE都是平行四边形，
∴HE=OE，DO=BH，OG=EC，
又∵BC=BH+HE+EC，
∴BC=DO+OG+HE=OD+OE+OF．

点评：此题主要考查平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．