Question

如图，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAE且交CE于点F．
求证：FD∥CB．

Answer 1

分析：由AF为角平分线，得到一对角相等，再由AC=AD，AF为公共边，利用SAS可得出三角形CAF与三角形DAF全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ACF=∠ADF，由∠ACB为直角得到一对角互余，再由CE垂直于AB，得到直角三角形BEC两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠ACF=∠B，等量代换得到∠ADF=∠B，利用同位角相等两直线平行即可得证．

解答：证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠CAF=∠EAF，
在△ACF和△ADF中
∵

AC=AD ∠CAF=∠EAF AF=AF

，
∴△ACF≌△ADF（SAS），
∴∠ADF=∠ACF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCF=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCF=90°，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B=∠ADF，
∴FD∥CB．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL（直角三角形判定全等的方法）．