Question

如图抛物线y=ax²-5x+4a与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．
（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标．
（2）该抛物线与y轴的交点为D，则四边形ABCD为

等腰梯形

．
（3）将此抛物线沿x轴向左平移3个单位，再向上平移2个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）把C（5，4）代入抛物线y=ax²-5x+4a可求出a的值为1，然后利用配方法把二次函数配成顶点式，即可得到顶点P的坐标；
（2）先求出D点坐标（0，4），由于C点坐标为（5，4），则C点与D点关于抛物线的对称轴对称，DC∥AB，利用抛物线的对称性得到四边形ABCD为等腰梯形；
（3）把P点（

5

2

，-

9

4

）沿x轴向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到点（-

1

2

，-

1

4

），然后根据抛物线的顶点式得到平移后图象所对应的函数关系式为y=（x+

1

2

）²-

1

4

=x²+x．

解答：解：（1）把C（5，4）代入y=ax²-5x+4a得
4=25a-25+4a，
解得a=1；
把a=1代入抛物线的解析式得y=x²-5x+4，
∵y=x²-5x+4=（x-

5

2

）²-

9

4

，
∴该抛物线顶点P的坐标为（

5

2

，-

9

4

）；

（2）如图，令x=0，得y=4，则D点坐标为（0，4），
∵C（5，4），
∴C点与D点关于抛物线的对称轴对称，DC∥AB，
∴四边形ABCD为等腰梯形；
故答案为等腰梯形；

（3）把点（

5

2

，-

9

4

）沿x轴向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到点（

5

2

-3，-

9

4

+2），即（-

1

2

，-

1

4

），
则平移后图象所对应的函数关系式为y=（x+

1

2

）²-

1

4

=x²+x．

点评：本题考查了抛物线与x轴交点坐标：抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点的横坐标为方程ax²+bx+c=0的解．也考查了抛物线的顶点式和二次函数图象与几何变换．