Question

【题目】如图,线段AB＝8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,连接AP,作AP⊥CP且AP=CP,连接AC，PD平分∠APC,且C、D与点B在AP两侧,在线段DP取一点E,使∠EAP＝∠BAP,连接CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合).

(1)求证:△AEP≌△CEP;

(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由;

(3)求△AEF的周长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CF⊥AB，理由见解析；（3）16.

【解析】

由PD平分∠APC，AP=CP，可得∠APD=∠CPD，从而证得△AEP≌△CEP；由△AEP≌△CEP，可得∠EAP＝∠ECP,根据等量代换可得∠AMF+∠PAB＝90°，从而得出位置关系；过点 C 作CN⊥PB．可证得△PCN≌△APB

解： (1)∵DP平分∠APC, PC＝PA,

∴∠APD＝∠CPD＝45°,

又因为PE＝PE,

∴△AEP≌△CEP(SAS);

(2)CF⊥AB．

理由如下:∵△AEP≌△CEP,

∴∠EAP＝∠ECP,

∵∠EAP＝∠BAP．

∴∠BAP＝∠FCP,

∵∠FCP+∠CMP＝90°,∠AMF＝∠CMP,

∴∠AMF+∠PAB＝90°,

∴∠AFM＝90°,

∴CF⊥AB;

(3)过点 C 作CN⊥PB．可证得△PCN≌△APB,

∴CN＝PB＝BF,PN＝AB,

∵△AEP≌△CEP,

∴AE＝CE,

∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2 AB＝16.