【题目】如图,线段AB=8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,连接AP,作AP⊥CP且AP=CP,连接AC,PD平分∠APC,且C、D与点B在AP两侧,在线段DP取一点E,使∠EAP=∠BAP,连接CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合).
(1)求证:△AEP≌△CEP;
(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由;
(3)求△AEF的周长.
【答案】(1)证明见解析;(2)CF⊥AB,理由见解析;(3)16.
【解析】
由PD平分∠APC,AP=CP,可得∠APD=∠CPD,从而证得△AEP≌△CEP;由△AEP≌△CEP,可得∠EAP=∠ECP,根据等量代换可得∠AMF+∠PAB=90°,从而得出位置关系;过点 C 作CN⊥PB.可证得△PCN≌△APB
解: (1)∵DP平分∠APC, PC=PA,
∴∠APD=∠CPD=45°,
又因为PE=PE,
∴△AEP≌△CEP(SAS);
(2)CF⊥AB.
理由如下:∵△AEP≌△CEP,
∴∠EAP=∠ECP,
∵∠EAP=∠BAP.
∴∠BAP=∠FCP,
∵∠FCP+∠CMP=90°,∠AMF=∠CMP,
∴∠AMF+∠PAB=90°,
∴∠AFM=90°,
∴CF⊥AB;
(3)过点 C 作CN⊥PB.可证得△PCN≌△APB,
∴CN=PB=BF,PN=AB,
∵△AEP≌△CEP,
∴AE=CE,
∴AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=2 AB=16.
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【题目】我省某地区为了了解2016年初中毕业生毕业去向,对部分九年级学生进行了抽样调查,就九年级学生毕业后的四种去向:A.读普通高中;B.读职业高中;C.直接进入社会就业;D.其他(如出国等)进行数据统计,并绘制了两幅不完整的统计图(如图1,如图2)
(1)填空:该地区共调查了 名九年级学生;
(2)将两幅统计图中不完整的部分补充完整;
(3)若该地区2016年初中毕业生共有3500人,请估计该地区今年初中毕业生中读普通高中的学生人数;
(4)老师想从甲,乙,丙,丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况,请用画树状图或列表的方法求选中甲同学的概率.
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【题目】如图,已知,点分别在射线上移动,的平分线与的外角平分线交于点.
(1)当时, .
(2)请你猜想:随着两点的移动,的度数大小是否变化?请说明理由.
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【题目】如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,∠ACB的平分线交AD于E,交AB于F,FG⊥BC于G,请猜测AE与FG之间有怎样的关系,并说明理由.
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【题目】某校初三年200名学生参加某次测评,从中随机抽取了20名学生,记录他们的分数,整理得到如下频数分布直方图:
Ⅰ从总体的200名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率是______;
Ⅱ样本中分数的中位数在______组;
Ⅲ已知样本中有的男生分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生人数.
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【题目】某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动,要求各学校开展形式多样的阳光体育活动.某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题,随机调查了本校某班的学生,并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图:
(1)在这次调查中,喜欢篮球项目的同学有 人,在扇形统计图中,“乒乓球”的百分比为 %,如果学校有800名学生,估计全校学生中有 人喜欢篮球项目.
(2)请将条形统计图补充完整.
(3)在被调查的学生中,喜欢篮球的有2名女同学,其余为男同学.现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队,请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率.
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【题目】如图乙,和是有公共顶点的等腰直角三角形,,点P为射线BD,CE的交点.
如图甲,将绕点A旋转,当C、D、E在同一条直线上时,连接BD、BE,则下列给出的四个结论中,其中正确的是______.
若,,把绕点A旋转,
当时,求PB的长;
求旋转过程中线段PB长的最大值.
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【题目】某校组织一项公益知识竞赛,比赛规定:每个班级由2名男生、2名女生及1名班主任老师组成代表队.但参赛时,每班只能有3名队员上场参赛,班主任老师必须参加,另外2名队员分别在2名男生和2名女生中各随机抽出1名.初三(1)班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任组成了代表队,求恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率.(请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程)
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【题目】如图,OB平分∠CBA,CO平分∠ACB,且MN∥BC,设AB=12,BC=24,AC=18,则△AMN的周长为( )
A.30 B.33 C.36 D.39
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