Question

（2012•香坊区三模）在△ABC中，∠ACB=2∠BAC，点E在AC上，连接BE，且AE=BE，CD平分∠ACB交AB于点D，连接DE．
（1）（如图1），求证：BD=ED；
（2）设线段CD、BE相交于点P，将∠CAB沿直线AC翻折得到∠CAB′（如图2），射线AB′交BE延长线于点Q，连接CQ，若DE：BC=2：3，S_{四边形ADPQ}=

39

4

7

，求∠ACQ的正切值．

Answer 1

分析：（1）根据条件CD平分∠ACB可以得出∠ACB=2∠ACD=2∠BCD从而得出∠ACD=∠BCD=∠A=∠ABE，最后通过证明△ADE≌△CDB就可以得出结论；
（2）由DE：BC=2：3，设DE=4k，BC=6k，可以得出AE=BE=BC=6k，从而可以得出∠DBE=∠EBA，就有△BDE∽△BEA，由相似三角形的性质就可以表示出AB=9k，AD=CD=5k，再由∠DBP=∠BCD，∠BDP=∠CDB，可以得出△BDP∽△CDB，从而求出BP=

24

5

k，PD=

16

5

k．过点D作DF⊥BE于F，根据勾股定理可以求出DF的值，可以表示出sin∠FBD=

DF

BD

=

7

4

，cos∠QAC=

BF

BD

=

3

4

．进而求得S_△PBD的值，再由条件可以证明△PBD∽△QBA，求出S_△PBD：S_△QBA的比值，由其条件建立方程求出k的值，过Q作QH⊥AC于H，在Rt△AHQ中，HQ=AQ•sin∠QAC=

9 7

5

，AH=AQ•cos∠QAC=

27

5

，通过△ADC∽△AEB就可以得出CH的值，从而就可以求出
∠ACQ的正切值．

解答：（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=2∠BCD．
∵AE=BE，
∴∠A=∠ABE．
∵∠ACB=2∠A，
∴∠ACD=∠BCD=∠A=∠ABE
∴AD=CD．
∵∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A=2∠ACD，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，BC=AE，
∵在△ADE和△CDB中，

AE=BC ∠A=∠BCD AD=CD

，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴DE=DB，即BD=ED．

（2）解：∵DE：BC=2：3，设DE=4k，BC=6k，
∴AE=BE=BC=6k．
∵BD=ED，
∴∠DEB=∠DBE，
∴∠EAB=∠DEB．
∵∠DBE=∠EBA，
∴△BDE∽△BEA，
∴

BE

AB

=

BD

BE

，
∴

6k

AB

=

4k

6k

，
∴AB=9k．
∴AD=CD=5k．
∵∠DBP=∠BCD，∠BDP=∠CDB，
∴△BDP∽△CDB，
∴

BP

BC

=

DB

DC

=

PD

BD

，
∴

BP

6k

=

4k

5k

，
∴BP=

24

5

k，PD=

16

5

k．
过点D作DF⊥BE于F，
∵BD=ED，DF⊥BE，
∴BF=EF=

1

2

BE=3k．
∴在Rt△BFD中，DF=

BD2-BF2

=

7

k，
∴sin∠FBD=

DF

BD

=

7

4

，cos∠QAC=

BF

BD

=

3

4

．
∵∠QAC=∠BAC=∠FBD，
∴sin∠QAC=

DF

BD

=

7

4

，cos∠QAC=

BF

BD

=

3

4

，
∴S_△PBD=

1

2

BP•DF=

1

2

×

24

5

k×

7

k=

12 7

5

k2．
∵∠QAC=∠BAC，
∴∠QAC=∠ACB，
∴PD∥AQ，
∴△PBD∽△QBA，
∴S_△PBD：S_△QBA=BD²：BA²=（4k）²：（9k）²=16：81，

PD

QA

=

BD

BA

=

4k

9k

．
∴S_{四边形ADPQ}=S_△QBA-S_△PBD=

39

4

7

∴S_△PBD：S_{四边形ADPQ}=16：65，AQ=

36

5

k，
∴

12 7

5

k2：

39 7

4

=16：65，
∴k=1，k=-1（舍去）
∴AQ=

36

5

．
过Q作QH⊥AC于H，
∴在Rt△AHQ中，HQ=AQ•sin∠QAC=

9 7

5

，AH=AQ•cos∠QAC=

27

5

，．
∵∠ACD=∠ABE，∠CAD=∠BAE，∴△ADC∽△AEB，
∴

AC

AB

=

CD

BE

，
∴

AC

9k

=

5k

6k

，
∴AC=

5

12

k=

5

12

，
∴CH=AC-AH=

21

10

，
∴在Rt△CHQ中，tan∠ACQ=

QH

CH

=

9 7 5

21 10

=

6 7

7

．

点评：本题是一道综合性极强几何综合试题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理放入性质的运用，三角函数值的运用，利用参数法求解的运用，解答时灵活运用相似三角形的性质求解是解答本题的关键，正确作出辅助线是解答本题的难点．