Question

【题目】已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．

（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．

①求证：∠1＝∠2；

②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；

（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2

【解析】

（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；

②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；

（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；

（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵AD⊥BN，

∴∠ADB＝90°，

∵∠MBN＝30°，

∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，

∴∠1＝∠2

②证明：如图2中，

在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，

∴BF＝2DF，

∵BF＝2AF，

∴BF＝AD，

∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，

∴△BFC≌△ADB，

∴∠BFC＝∠ADB＝90°，

∴BF⊥CF

（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．

∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，

∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，

∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，

∴∠1+∠4＝∠2+∠4

∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，

∴△ABK≌CAF，

∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，

∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，

∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，

∴AF＝FK＝BK，

∴S△ABK＝S△AFK，

∴．