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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，矩形ABCD中，已知边AB、BC 的长恰为关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+3m=0的两个根．动点P、Q分别从点B、C出发，其中，点P以a cm/s的速度，沿B→C的路线向点C运动；点Q以3cm/s的速度，沿C→D的路线向点D运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）（t＞0），且当精英家教网t=2时，P、Q两点恰好同时到达目的地．
    （1）求m、a的值；
    （2）是否存在这样的t，使得△APQ的外心恰好在△APQ的某一边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由点Q以3cm/s的速度，沿C→D的路线向点D运动，运动时间为t=2，可得AB=CD=6，代入x2-（m-2）x+3m=0求解即可；
    （2）要使△APQ的外心在△APQ的某一边上，则△APQ为直角三角形；显然∠PAQ不可能为直角．分别从∠APQ=90°与∠AQP=90°分析，易得相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值．
    解答：解：（1）由已知得CD=6，
    ∴AB=6．
    把x=6代入方程x2-（m-2）x+3m=0得m=16．
    把m=16代入原方程，解得x1=6，x2=8，
    ∴BC=8．
    ∴点P的运动速度a=8÷2=4（cm/s）；

    （2）要使△APQ的外心在△APQ的某一边上，
    则△APQ为直角三角形．
    显然∠PAQ不可能为直角．
    若∠APQ=90°，则△ABP∽△PCQ，
    ∴
    AB
    BP
    =
    PC
    CQ
    ．
    即
    6
    4t
    =
    8-4t
    3t
    ，
    解得t=
    7
    8
    ．
    若∠AQP=90°，同理求得t=2或t=
    32
    9
    ．
    经检验，t=
    32
    9
    不合题意，舍去，
    ∴t=2或t=
    7
    8
    ．
    点评：此题考查了一元二次方程的应用，以及相似三角形的判定与性质和圆的外心的性质．解此题的关键要抓住不变量，还要注意利用分类讨论的思想．解题时还要注意数形结合思想的应用．
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    ；△ADE的面积为
     
    ．

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    A、a≥
    1
    2
    b
    B、a≥b
    C、a≥
    3
    2
    b
    D、a≥2b

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    30
    °．

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    3
    3
    cm．

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