Question

13．如图，抛物线经过点A（-3，0）、B（0，3），C（1，0）．
（1）求抛物线及直线AB的函数关系式；
（2）有两动点D、E同时从O出发，以每秒1个单位长度的相同的速度分别沿线段OA、OB向A、B做匀速运动，过D作PD⊥OA分别交抛物线和直线AB于P、Q，设运动时间为t（0＜t＜3）．
①求线段PQ的长度的最大值；
②连接PE，当t为何值时，四边形DOEP是正方形；
③连接DE，在运动过程中，是否存在这样的t值，使PE=DE？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+3）（x-1），再把B点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；然后利用待定系数法直线AB的解析式；
（2）①由于D（-t，0），PD⊥x轴，则可表示出P点坐标为（-t，-t²+2t+3），所以PQ=-t²+2t+3，然后利用二次函数的性质解决问题；
②由于PQ∥OE，则PQ=OE时，四边形DOEP为平行四边形，此时四边形DOEP是正方形，即-t²+2t+3=t，然后解方程可得到满足条件的t的值；
③作EH⊥PD，如图，利用等腰三角形的性质得PH=DH，即PD=2OE，所以-t²+2t+3=2t，然后解方程可得到满足条件的t的值．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），
把B（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+3）（x-1），
即y=-x²-2x+3；
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-3，0），B（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+3；
（2）①∵D（-t，0），PD⊥x轴，
∴P（-t，-t²+2t+3），
∴PQ=-t²+2t+3=-（t-1）²+4，
∴当t=1时，PQ的长度有最大值，最大值为4；
②OE=OD=t，
∵PQ∥OE，
∴PQ=OE时，四边形DOEP为平行四边形，
而OE=OD，∠DOE=90°，
∴此时四边形DOEP是正方形
即-t²+2t+3=t，解得t₁=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，t₂=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$（舍去），
∴当t为$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$时，四边形DOEP是正方形；
③存在．
作EH⊥PD，如图，
∵DE=PE，
∴PH=DH，
∴PD=2OE，
即-t²+2t+3=2t，解得t₁=$\sqrt{3}$，t₂=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴当t=$\sqrt{3}$时，PE=DE．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用正方形的性质；理解坐标与图形性质．