如图,AB为⊙O的直径,弦CD与AB相交于E,DE=EC,过点B的切线与AD的延长线交于F,过E作EG⊥BC于G,延长GE交AD于H.
(1)求证:AH=HD;
(2)若cos∠C=,DF=9,求⊙O的半径.
解:(1)证明:∵AB为⊙O的直径,DE=EC,∴AB⊥CD。∴∠C+∠CBE=90°。
∵EG⊥BC,∴∠C+∠CEG=90°。∴∠CBE=∠CEG。
∵∠CBE=∠CDA,∠CEG=∠DEH,∴∠CDA=∠DEH。∴HD=EH。
∵∠A+∠ADC=90°,∠AEH+∠DEH=90°,∴AH=EH。∴AH=HD。
(2)∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°。∴∠BDF=90°。
∵BF是⊙O的切线,∴∠DBF=∠C。
∵cos∠C=,DF=9,∴ 。
设BD=4k,则BF=5k,由勾股定理,得DF=3k。
∴3k=9, k=3。∴BD=4k=12。
∵∠A=∠C,∴sin∠A=。
∴。
∴⊙O的半径为10
【解析】
试题分析:(1)由AB为⊙O的直径,DE=EC,根据垂径定理的推论,从而可证得AB⊥CD,又由EG⊥BC,易证得∠CDA=∠DEH,即可得HD=EH,继而可证得AH=EH,则可证得结论。
(2)由AB为⊙O的直径,可得∠BDF=90°,由BF是切线,可得∠DBF=∠C,然后由三角函数的性质,求得BD的长,继而求得答案。
科目:初中数学 来源:江苏省张家港市2012年中考网上阅卷适应性考试数学试题 题型:013
如图,AB为⊙O的直甲径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于D,且CO=CD,则∠PCA=
A.60°
B.65°
C.67.5°
D.75°
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科目:初中数学 来源:2008年福建省福州一中高中招生(面向福州以外)综合素质测试数学试卷(解析版) 题型:选择题
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