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若关于x的方程x4-16x3+(81-2a)x2+(16a-142)x+a2-21a+68=0的各根为整数,求a的值,并解此方程.
考点:一元二次方程的整数根与有理根
专题:
分析:首先将原式分解因式,进而得出
x2-6x+4-a=0①
x2-10x+17-a=0②
,进而求出a的值,即可得出方程的根.
解答:解:∵x4-16x3+(81-2a)x2+(16a-142)x+a2-21a+68
=(x4-16x3+60x2)+(21-2a)x2+(16a-142)x+(a2-21a+68)
=(x2-6x)(x2-10x)+[(4-a)+(17-a)]x2-[10(4-a)+6(17-a)]x+(4-a)(17-a)
=(x2-6x)(x2-10x)+[(4-a)x2-10(4-a)x]+[(17-a)x2-6(17-a)x]+(4-a)(17-a)
=(x2-6x)(x2-10x)+(4-a)(x2-10x)+(17-a)(x2-6x)+(4-a)(17-a)
=[(x2-6x)(x2-10x)+(4-a)(x2-10x)]+[(17-a)(x2-6x)+(4-a)(17-a)]
=(x2-6x+4-a)(x2-10x)+(17-a)(x2-6x+4-a)
=(x2-6x+4-a)(x2-10x+17-a)
x2-6x+4-a=0①
x2-10x+17-a=0②

∴①式判别式△1=(-6)2-4(4-a)=4(a+5)
②式判别式△2=(-10)2-4(17-a)=4(a+8)
∵方程的各根为整数
∴a+5和a+8应该是整数的平方
∴设n、m∈Z且n>m≥0,且有:
a+5=m2
a+8=n2

两式相减得:3=1×3=n2-m2=(n-m)(n+m)
n-m=1
n+m=3

解得:
m=1
n=2

故解得:a=-4
将a=-4代入方程①②得:
x2-6x+8=0③
x2-10x+21=0④

解③④得:x1=2,x2=4,x3=3,x4=7.
点评:此题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根,正确将原方程分解因式是解题关键.
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