Question

8．（1）如图1，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，O是BC和EF的中点，连接CF，判断CF与AD的位置关系和数量关系．
（2）如图2，设直线CF与直线AD的交点为G，将△DEF绕点O旋转，在旋转过程中，EG的最大值为$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 （1）如图1中，结论：CF⊥AD，AD=$\sqrt{3}$CF；只要证明△ADO∽△COF，推出∠OAD=∠OCF，$\frac{CF}{AD}=\frac{OC}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由∠AKG=∠FKO，∠FCO+∠FKO=90°，
推出∠KAG+∠AKG=90°，即∠AGF90°，由此即可解决问题．
（2）如图2中，设DF的中点为M．连接EM、GM．因为点G在以DF为直径的圆上，当E、M、G共线时，EG=EM+MG的值最大，

解答 解：（1）如图1中，结论：CF⊥AD，AD=$\sqrt{3}$CF；

理由：连接AO、DO、延长CF交AD于G，如图1．
∵△ABC，△EFD均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，
∴AO⊥BC，DO⊥EF，AO=DO，CO=OF，
∴∠AOD=90°-∠AOF=∠COF，$\frac{AO}{CO}$=$\frac{OD}{OF}$，
∴△ADO∽△COF，
∴∠OAD=∠OCF，$\frac{CF}{AD}=\frac{OC}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠AKG=∠FKO，∠FCO+∠FKO=90°，
∴∠KAG+∠AKG=90°，
∴∠AGF90°，
∴AD⊥CF，
∴CF⊥AD，AD=$\sqrt{3}$CF；

（2）如图2中，设DF的中点为M．连接EM、GM．

∵CF⊥AD，
∴∠DGF=90°，
∴点G在以DF为直径的圆上，
∵EG＜EM+GM，
∴当E、M、G共线时，EG=EM+MG的值最大，
∵EM=DE•sin60°=$\sqrt{3}$，GM=$\frac{1}{2}$DF=1，
∴EG的最大值为$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查等边三角形的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题，学会利用三角形三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．