Question

25、已知二次函数y=x²-（2k+4）x+k²-4，且此函数图象与x轴有两个交点A、B．
（1）求k的取值范围；
（2）若线段AB的长度为4，求此函数的关系式；
（3）如图，若（2）中的函数图象与y轴的交点为C，点P为该抛物线上位于y轴右边的点，且∠PCO为锐角，试比较∠ACO与∠PCO的大小（不必证明），并写出相应的点P横坐标x_p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知二次函数与x轴有两个交点，那么当y=0时，得出的关于x的二元一次方程就应该有两个解，即△=（2k+4）²-4×（k₂-4）＞0，由此可得出k的取值范围．
（2）A，B的长度为4，也就是（1）中得出的方程的两个根的差的绝对值为4．那么可根据|AB|2=16，得出两根的差的平方为16，然后将完全平方差公式转换成完全平方和公式，从而可求出k值．进而可得出函数的关系式．
（3）可先作一个和∠ACO相等的角，然后以此角为参照进行比较．作点A关于y轴的对称点A’
作射线CA’，则∠ACO=∠A’CO，故求得直线CA’与抛物线的交点为P，此时x_p=5，∠ACO=∠PCO，则当x_p＞5时，∠ACO＞∠PCO；又∠PCO为锐角，作CC’平行x轴，则∠C’CO为直角，且C’为点C关于抛物线对称轴的对称点，故其坐标为C’（2，-3），所以当2＜x_p＜5时，∠ACO＜∠PCO．当x_p＞5时，∠ACO＞∠PCO．当x_p=5时，∠ACO=∠PCO．

解答：解：
（1）令y=0，则x²-（2k+4）x+k²-4=0
因函数图象与x轴有两个交点，
故此方程有两个不相等的实数根
∴（2k+4）²-4（k₂-4）＞0
∴k＞-2；

（2）设方程x²-（2k+4）x+k²-4=0的两根为x₁和x₂，
则x₁+x₂=2k+4，x₁•x₂=k²-4
∵AB=4，
故|x₁-x₂|=4
∴（x₁-x₂）²=16
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16
∴（2k+4）²-4（k²-4）=16
解得：k=-1
由（1）得k＞-2，故k=-1符合题意．
∴函数关系式为y=x²-2x-3；

（3）当x_p＞5时，∠ACO＞∠PCO；
当x_p=5时，∠ACO=∠PCO；
当2＜x_p＜5时，∠ACO＜∠PCO．

点评：本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数与二元一次方程的关系，根据根与系数的关系得出函数的解析式是解题的关键．