Question

【题目】如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．

（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，

①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝　 　°；

②若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数；

（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）①90°；②45°或90°；（2）详见解析.

【解析】

（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；

②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；

（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．

解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝90．

②如图，连接AB、OA、OB．

在△AOB中，

∵OA＝OB＝1．AB＝，

∴OA2+OB2＝AB2．

∴∠AOB＝90°．

当点P在优弧上时，∠APB＝∠AOB＝45°；

当点P在劣弧上时，∠AP′B＝（360°﹣∠AOB）＝135°

（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．

第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①

∵∠MAN＝∠APB+∠ANB，

∴∠APB＝∠MAN﹣∠ANB；

第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．

∵∠MAN＝∠APB+∠ANP＝∠APB+（180°﹣∠ANB），

∴∠APB＝∠MAN+∠ANB﹣180°；

第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．

∵∠APB+∠ANB+∠MAN＝180°，

∴∠APB＝180°﹣∠MAN﹣∠ANB，

第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，

∠APB＝∠MAN+∠ANB．