Question

14．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③与∠AGB相等的角有5个；④S_△FGC=$\frac{9}{10}$．其中正确的有①④．

Answer 1

分析 先求出DE、CE的长，再根据翻折的性质可得AD=AF，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，再利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△AFG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=FG，再设BG=FG=x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x=$\frac{3}{2}$，从而可以判断①正确；根据∠AGB的正切值判断∠AGB≠60°，从而求出∠CGF≠60°，△CGF不是等边三角形，FG≠FC，判断②错误；找出与∠AGB相等的角只有4个，判定③错误；先求出△CGE的面积，再求出EF：FG，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到△FGC的面积，判断④正确．

解答 解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，
∴DE=$\frac{1}{3}$×3=1，CE=3-1=2，
∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，
∴AB=AF=AD，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，
在Rt△CEG中，EG²=CG²+CE²，
即（1+x）²=（3-x）²+2²，
解得，x=$\frac{3}{2}$，
∴CG=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴BG=CG=$\frac{3}{2}$，
即点G是BC中点，故①正确；

∵tan∠AGB=$\frac{AB}{BG}$=$\frac{3}{\frac{3}{2}}$=2，
∴∠AGB≠60°，
∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，
又∵BG=CG=FG，
∴△CGF不是等边三角形，
∴FG≠FC，故②错误；

由（1）知Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF=$\frac{1}{2}$∠BGF，
根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF，
∴∠GCF=∠GFC=∠AGB，
∵AD∥BC，
∴∠AGB=∠GAD，
∴与∠AGB相等的角有4个，故③错误；

△CGE的面积=$\frac{1}{2}$CG•CE=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$，
∵EF：FG=1：$\frac{3}{2}$=2：3，
∴S_△FGC=$\frac{3}{2+3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{10}$，故④正确；
综上所述，正确的结论有①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据各边的熟量关系利用勾股定理列式求出BG=FG的长度是解题的关键，也是本题的难点．