Question

【题目】如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：证明：∵四边形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，

∴△AEH∽△ABC

（2）解：如图 设AD与EH交于点M．

∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，

∴四边形EFDM是矩形，

∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，

∵△AEH∽△ABC，

∴ ，

∴ ，

∴x= ，

∴正方形EFGH的边长为 cm，面积为 cm2

【解析】（1）根据EH∥BC即可证明．（2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得 = ，列出方程即可解决问题．本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．