【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线与坐标轴交于A,B两点,以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,点C为直角顶点,连接OC.
(1)直接写出= ;
(2)请你过点C作CE⊥y轴于E点,试探究OB+OA与CE的数量关系,并证明你的结论;
(3)若点M为AB的中点,点N为OC的中点,求MN的值;
(4)如图2,将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD,且OD⊥AD,延长DO交直线于点P,求点P的坐标.
【答案】(1) 4;(2)OB+OA=2CE;见解析;(3)MN=;(4)P(,).
【解析】
(1)令x=0,求出y的值,令y=0,求出x的值,即可得出OA,OB的长,根据三角形面积公式即可求出结果;
(2)过点C作CF⊥x轴,垂足为点F,易证△CEB≌△CFA与四边形CEOF是正方形,从而得AF=BE,CE=BE=OF,由OB=OE-BE,AO=OF+AF可得结论;
(3)求出C点坐标,利用中点坐标公式求出点M,N的坐标,进而用两点间的距离公式求解即可得出结论;
(4)先判断出点B是AQ的中点,进而求出Q的坐标,即可求出DP的解析式,联立成方程组求解即可得出结论.
(1)∵直线y=-x+2交坐标轴于A,B两点,
令x=0,则y=2,令y=0,则x=4,
∴BO=2,AO=4,
∴=;
(2)作CF⊥x轴于F,作CE⊥y轴于E,如图,
∴∠BFC=∠AEC=90°
∵∠EOF=90°,
∴四边形OECF是矩形,
∴CF=OE,CE=OF,∠ECF=90°,
∵∠ACB=90°
∴∠BCF=∠ACE,
∵BC=AC,
∴△CFB≌△CEA,
∴CF=CE,AF=BE,
∴四边形OECF是正方形,
∴OE=OF=CE=CF,
∴OB=OE-BE,OA=OF+AF,
∴OB+OA=OE+OF=2CE;
(3)由(2)得CE=3,
∴OE=3,
∴OF=3,
∴C(3,3);
∵M是线段AB的中点,而A(4,0),B(0,2),
∴M(2,1),
同理:N(,),
∴MN=;
(3)如图②延长AB,DP相交于Q,
由旋转知,BD=AB,
∴∠BAD=∠BDA,
∵AD⊥DP,
∴∠ADP=90°,
∴∠BDA+∠BDQ=90°,∠BAD+∠AQD=90°,
∴∠AQD=∠BDQ,∴BD=BQ,
∴BQ=AB,
∴点B是AQ的中点,
∵A(4,0),B(0,2),
∴Q(-4,4),
∴直线DP的解析式为y=-x①,
∵直线DO交直线y=x+5②于P点,
联立①②解得,x=-,y=,
∴P(-,).
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【题目】某自行车厂一周计划生产辆自行车,平均每天生产辆,由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入,下表是某周的生产情况(超产为正,减产为负);
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增减 |
根据记录可知前三天共生产________辆;
产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆;
该厂实行计件工资制,每辆车元,超额完成任务每辆奖元,少生产一辆扣元,那么该厂工人这一周的工资总额是多少?
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【题目】为弘扬中华优秀传统文化,某中学在2019年元旦前夕,由校团委组织全校学生开展了一次书法比赛为了表彰书法比赛中的获奖学生,计划购买钢笔30支,毛笔20支,共需1070元,其中每支毛笔比钢笔贵6元.
(1)求钢笔和毛笔的单价各为多少元?
(2)后来校团委决定调整设奖方案,扩大表彰面,需要购买上面的两种笔共60支(每种笔的单价不变)张老师做完预算后,向财务处王老师说:“我这次买这两种笔需要支领1322元”王老师核算了一下,说:“如果你用这些钱只买这两种笔,那么账肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释:王老师为什么说张老师用这些钱只买两种笔的账算错了.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,且满足BE=AD,连接CE并延长交AD于点F,连接AE,过B点作BG⊥AE于点G,延长BG交AD于点H.在下列结论中:①AH=DF;②∠AEF=45°;③S四边形EFHG=S△DEF+S△AGH;④BH平分∠ABE.其中不正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图,在矩形AOBC中,OB=4,OA=3,分别以OB,OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,F是BC边上的点,过F点的反比例函数y=(k>0)的图象与AC边交于点E.若将△CEF沿EF翻折后,点C恰好落在OB上的点D处,则点F的坐标为_____.
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【题目】一般地,任何一个无限循环小数都可以写成分数形式,如0.=0.777…,它的循环节有一位,设0. =x,由0. =0777…,可知,10x=7.777…,所以10x﹣x=7,得x=.于是,得0. =,再如0.=0.737373…,它的循环节有两位,设0.=x,由0.=0.737373…可知,100x=73.7373…,所以100x﹣x=73.解方程得x=.于是,得0. =,类比上述方法,无限循环小数0. 3化为分数形式为_____.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,E、F在菱形的边BC,CD上.
(1)证明:BE=CF.
(2)当点E,F分别在边BC,CD上移动时(△AEF保持为正三角形),请探究四边形AECF的面积是否发生变化?若不变,求出这个定值;如果变化,求出其最大值.
(3)在(2)的情况下,请探究△CEF的面积是否发生变化?若不变,求出这个定值;如果变化,求出其最大值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(5,a)(a>5),半径为5,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为8,则a的值是( )
A. 8 B. 5+3 C. 5 D. 5+
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上一点,以CD为直径的⊙O交BC于点E,连接AE交CD于点P,交⊙O于点F,连接DF,∠CAE=∠ADF.
(1)判断AB与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若PF:PC=1:2,AF=5,求CP的长.
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