Question

如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=2BE=4，连接DE，并将线段DE绕点E顺时针旋转60°，得到线段EF，连接CF，取EF中点G，连接AG，延长CF交AG于点H．若AH=

5

2

HG，则BD长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,平行线分线段成比例

专题：计算题

分析：在BC上截取CM=BE=2，连接FM，则利用等边三角形的性质得BD=EM，再根据旋转的性质得到∠DEF=60°，ED=EF，接着可证明△BDE≌△MEF，得到∠B=∠EMF=60°，BE=MF=CM，则∠MCF=∠MFC=30°，所以CH平分∠ACB；延长CH交AB于N，作GO⊥AB于O，EP⊥AB于P，根据等边三角形的性质得CN垂直平分AB，所以CN∥GO∥EP，利用平行线分线段成比例定理得到

AN

NO

=

AH

HG

=

5

2

，则ON=

2

5

AN，

NO

OP

=

FG

EG

=1，则NO=OP，所以NP=

4

5

AN=

4

5

BN，于是BP=BN-NP=

1

5

BN，然后利用∠BEP=∠NCB=30°得到BP=

1

2

BE=1，所以BN=AN=5，易得AB=2BN=10，再利用BD=AB-AD进行计算即可．

解答：解：在BC上截取CM=BE=2，连接FM，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠B=60°，
D=2BE=BE+CM，
∴BD=EM，
∵将线段DE绕点E顺时针旋转60°，得到线段EF，
∴∠DEF=60°，ED=EF，
∴∠DEB+∠MEF=120°，
而∠DEB+∠BDE=120°，
∴∠BDE=∠MEF，
在△BDE和△MEF中，

BD=ME ∠BDE=∠MEF DE=EF

，
∴△BDE≌△MEF（SAS），
∴∠B=∠EMF=60°，BE=FM，
∴MF=CM，
∴∠MCF=∠MFC=

1

2

∠EMF=30°，
∴CH平分∠ACB；
延长CH交AB于N，作GO⊥AB于O，EP⊥AB于P，
∵CH平分∠ACB
∴CN垂直平分AB，AN=BN，
∴CN∥GO∥EP 
∴

AN

NO

=

AH

HG

=

5

2

，即ON=

2

5

AN，
∵G点为EF的中点，
∴EG=GF，
∴

NO

OP

=

FG

EG

=1，
即NO=OP，
∴NP=

4

5

AN=

4

5

BN，
∴BP=BN-NP=BN-

4

5

BN=

1

5

BN，
∵PE∥CN，
∴∠BEP=∠NCB=30°，
∴BP=

1

2

BE=

1

2

×2=1，
∴BN=AN=5，
∴AB=2BN=10，
∴BD=AB-AD=10-4=6．
故答案为6．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的性质和平行线分线段成比例定理．本题难度较大．