Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，DB切⊙O于点B，C是圆上一点，过点C作AB的垂线，交AB于点P，与DO的延长线交与点E，且ED∥AC，连接CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB=12，OP：AP=1：2，求ED的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OBD=90°，然后利用SAS证出≌，可得∠OCD=∠OBD=90°，从而证出结论；

（2）根据圆的直径和线段比，求出OB、OA、OC、OP和AP，证出∽，列出比例式即可求出EO，再证出∽，列出比例式即可求出OD，从而求出结论．

（1）证明：连接OC．

∵DB切⊙O于点B，

∴∠OBD=90°．

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO．

∵OD∥AC，

∴∠COD=∠ACO，∠CAO=∠BOD，

∴∠COD=∠BOD．

又∵OC=OB，OD=OD，

∴≌ (SAS)，

∴∠OCD=∠OBD=90°，即CD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB=12，AB是直径，

∴OB=OA=6．

∵OP∶AP=1∶2，

∴OP=2，AP=4．

∵∠APC=90°，OC=6，

∴PC=，AC=．

∵ED∥AC，

∴∽，

∴，

即，

解得．

∵∠EPO=∠B=90°，∠EOP=∠DOB

∴∽，

∴，

∴，

解得：，

∴ED=EO+OD=．