Question

把下列各式分解因式：
（1）m（x-y）-n（y-x）；（2）2x⁴-32
（3）a³-a；（4）（x+y）²-2（x+y）+1
（5）先尝试把下列代数式进行分解因式：
①1+x+x（1+x）=______；
②1+x+x（1+x）+x（1+x）²=______；
③1+x+x（1+x）+x（1+x）²+x（1+x）³=______；
…并根据你发现的规律，直接写出下面这个多项式分解因式的结果．
④1+x+x（1+x）+x（1+x）²+…+x（1+x）²⁰⁰⁸=______．

Answer 1

解：（1）m（x-y）-n（y-x）=（m+n）（x-y）；

（2）2x⁴-32=2（x⁴-16）=2[（x²）²-4²]=2（x²+4）（x²-4）=2（x²+4）（x-2）（x+2）；

（3）a³-a=a（a²-1）=a（a+1）（a-1）；

（4）（x+y）²-2（x+y）+1=（x+y-1）²；

（5）①1+x+x（1+x）=（1+x）+x（1+x）=（1+x）^2_；
②1+x+x（1+x）+x（1+x）²=（1+x）+x（1+x）+x（1+x）²=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）^3_；
③1+x+x（1+x）+x（1+x）²+x（1+x）³=（1+x）⁴；
看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出：
④1+x+x（1+x）+x（1+x）²+…+x（1+x）²⁰⁰⁸=（1+x）²⁰⁰⁹．
分析：（1）m（x-y）-n（y-x）=m（x-y）+n（x-y），再提公因式x-y；
（2）提公因式2，再运用平方差公式分解彻底即可．2x⁴-32=2（x⁴-16）=2[（x²）²-4²]=2（x²+4）（x²-4）=2（x²+4）（x-2）（x+2）；
（3）a³-a=a（a²-1），再运用平方差公式分解；（4）（x+y）²-2（x+y）+1是将（x+y）看做一个整体，运用完全平方差公式分解的；（5）①1+x+x（1+x）=（1+x）^2_；
②1+x+x（1+x）+x（1+x）²=（1+x）³；
③1+x+x（1+x）+x（1+x）²+x（1+x）³=（1+x）⁴；
看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出：
④1+x+x（1+x）+x（1+x）²+…+x（1+x）²⁰⁰⁸=（1+x）²⁰⁰⁹．
点评：本题考查对分解因式的掌握情况．