Question

3．如图所示，一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$的图象交于A（-2，n），B（1，-3）两点．
（1）试确定上述一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出使y₁＜y₂的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，先求得反比例函数解析式，再求得一次函数解析式；
（2）利用坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；
（3）在函数图象上观察，写出一次函数图象在反比例函数图象下方时所有的点的横坐标的集合．

解答 解：（1）∵一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$的图象交于A（-2，n），B（1，-3）两点
∴将B（1，-3）代入反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$可得
m=-3×1=-3
∴反比例函数为y₂=$\frac{-3}{x}$
将A（-2，n）代入反比例函数为y₂=$\frac{-3}{x}$可得
n=$\frac{3}{2}$，即A（-2，$\frac{3}{2}$）
将A（-2，$\frac{3}{2}$）、B（1，-3）代入一次函数y₁=kx+b，可得
$\left\{\begin{array}{l}{-3=k+b}\\{\frac{3}{2}=-2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴一次函数为y₁=$-\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$
（2）如图，设一次函数图象与y轴交于点C，则
当x=0时，y=-$\frac{3}{2}$，即C（0，-$\frac{3}{2}$）
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$
（3）根据图象可得，使y₁＜y₂的x的取值范围为：-2＜x＜0或x＞1

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握根据两个函数图象的交点坐标求两个函数解析式和有关不等式解集的方法．解答此类试题的依据是：①函数图象的交点坐标满足函数解析式；②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．