Question

10．如图，已知抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$x²+2上有一点A，点A的横坐标为2．将抛物线C₁向右平移，使其顶点落在直线y=x上，此时抛物线记作为C₂，点A的对应点记作B．
（1）点A的坐标为（2，4），抛物线C₁的顶点坐标为（0，2），抛物线C₂的解析式为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+4$；
（2）若点P在C₂上，且△POB的面积为8，求点P的坐标；
（3）设抛物线C₂上任意一点Q到定点M（2，m）的距离为QM、到定直线y=4-m的距离为QN，则是否存在常数m，使得QM=QN恒成立？若存在，求常数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A的点横坐标代入解析式求出纵坐标；由于抛物线C₁对称轴就是y轴，故直接写出顶点坐标；根据平移法则写出抛物线C₂的解析式；
（2）过点P作PN∥y轴交直线OB于点N，设出P点的横坐标，将△POB的面积用P点的横坐标表示，令面积等于8建立程，解出即可；
（3）设出Q点坐标，根据QM=QN，由两点间的距离公式列出等式，再结合抛物线C₂的解析式，消去x，整理理成一个关于y和m的方程，而这个方程对任意的y都成立，从而确定m的取值．

解答 解：
（1）将A点横坐标代入抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$x²+2可得y=4，
∴A（2，4），
抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$x²+2顶点坐标为（0，2），
将抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$x²+2向右平移两个单位得：$y=\frac{1}{2}（x-2）^{2}+2$=$\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+4$；
（2）过点P作PN∥y轴交直线OB于点N，如图1，

A（2，4）向右平移两个单位得B（4，4），
∴B点也在直线y=x上，
设P（n，$\frac{1}{2}{n}^{2}-2n+4$），则N（n，n），
${S}_{△POB}=\frac{1}{2}×（{x}_{B}-{x}_{O}）×（{y}_{P}-{y}_{N}）$=n²-6n+8=8，
∴n（n-6）=0，
∴n=0或n=6，
∴P点坐标为（0，4）或（6，10）；
（3）设Q（x，y），作QH垂直定直线于点N，如图2，

∵QM=QN，
∴（x-2）²+（y-m）²=（y-4+m）²，
∵$y=\frac{1}{2}{（x-2）}^{2}+2$，
∴（x-2）²=2y-4，
∴2y-4+（y-m）²=（y-4+m）²，
整理得：（2m-5）（y-1）=0，
上式对任意的y都成立，
∴m=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了点与函数图象的关系、函数图象的平移、三角形面积的坐标表示（水平宽法）、两点间的距离公式，方程的恒成立问题等知识点，难度适中．第（2）当中用到的面积表示技巧极为重要，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的二分之一，必须掌握；第（3）问实质上是抛物线的解析定义，定点即为抛物线的焦点，定直线即为抛物线的准线，这些概念同学们将在高中正式接触，在这里，对于初中而言，没必要知道这些概念，只需根据QM=QN建立方程即可．