Question

（2012•朝阳区一模）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，求ED的长．

Answer 1

分析：根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，BO=DO，再根据△EAC是等边三角形可以判定EO⊥AC，并求出EA的长度，然后在Rt△ABO中，利用勾股定理列式求出BO的长度，即DO的长度，在Rt△AOE中，根据勾股定理列式求出EO的长度，再根据ED=EO-DO计算即可得解．

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=

1

2

AC=

1

2

×8=4，DO=BO，
∵△EAC是等边三角形，
∴EA=AC=8，EO⊥AC，…（2分）
在Rt△ABO中，BO=

AB2-AO2

=

52-42

=3，
∴DO=BO=3，…（3分）
在Rt△EAO中，EO=

EA2-AO2

=

82-42

=4

3

．…（4分）
∴ED=EO-DO=4

3

-3．…（5分）

点评：本题考查了平行四边形对角线互相垂直平分的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理的应用，根据等边三角形三线合一的性质判断出EO⊥AC是解题的关键，也是本题的难点．