Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AC上，且∠DBC=∠DCB
（1）求证：AD=CD；
（2）若∠A=30°，DE⊥AC，交AB于E，求$\frac{BE}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用直角三角形的性质结合互余两角的关系得出∠A=∠ABD，进而得出答案；
（2）直接利用直角三角形的性质表示出AB，AE，BC，AC的长进而得出答案．

解答 （1）证明：∵∠DBC=∠DCB，∠C+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠A=∠ABD，BD=DC，
∴AD=BD，
则AD=CD；

（2）解：∵∠A=30°，DE⊥AC，
∴设DE=x，则AE=2x，
故AD=$\sqrt{3}$x，则DC=$\sqrt{3}$x，
可得BC=$\sqrt{3}$x，
则AB=3x，
故BE=x，
则$\frac{BE}{AE}$=$\frac{x}{2x}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确表示出各边长是解题关键．