Question

如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．
（1）如图甲，若PA=8，PC=10，CD=6．
①求sin∠APC的值；②sin∠BOD=

 

；
（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD=BD；②若

PA

PC

=

4

5

，试求cos∠BAD的值．

Answer 1

分析：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．根据垂径定理和勾股定理求得有关线段的长，再进一步根据锐角三角函数的概念求解；
（2）根据圆周角定理的推论和等弧对等弦进行证明，根据平行线等分线段定理进行求解．

解答：解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．
①根据垂径定理，得CE=3．设圆的半径是r．
根据勾股定理，得
OP²-PE²=OC²-CE²，
（8+r）²-169=r²-9，
解得r=6．
则OE=3

3

．
则sin∠APC=

OE

OP

=

3 3

14

；
②设OF=x．
根据勾股定理，得
PD²-PF²=OD²-OF²，
256-（14+x）²=36-x²，
解得x=

6

7

．
所以DF=

2 273

7

．
所以sin∠BOD=

DF

OD

=

273

21

．

（2）①∵AC∥OD，
∴∠1=∠2．
又OA=OD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
所以弧CD=弧BD，
所以CD=BD；
②∵AC∥OD，
∴

CD

OA

=

PC

PA

=

5

4

．
又CD=BD，AB=2OA，
∴

BD

AB

=

5

8

．
∴cos∠BAD=

AD

AB

=

39

8

．

点评：此题综合运用了垂径定理、勾股定理、圆周角定理的推论、等弧对等弦、平行线等分线段定理等，有一定的难度．