Question

如图，直线y=x+m（m≠0）交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B且AB=5，过点A作直线AC⊥AB交y轴于点C．点E从坐标原点O出发，以0.8个单位/秒的速度沿y轴向上运动；与此同时直线l从与直线AC重合的位置出发，以1个单位/秒的速度沿射线AB方向平行移动．直线l在平移过程中交射线AB于点F、交y轴于点G．设点E离开坐标原点O的时间为t（t≥0）s．

（1）求直线AC的解析式；

（2）直线l在平移过程中，请直接写出△BOF为等腰三角形时点F的坐标；

（3）直线l在平移过程中，设点E到直线l的距离为d，求d与t的函数关系．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=﹣x﹣     （2）F₁（，）、F₂（﹣，）、F₃．（﹣，2）

（3）d=﹣t+        d=t﹣

【解析】

试题分析：（1）∵y=x+m交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，

∴B（0，m）、A（﹣3，0）．

∵AB=5，

∴m²+3²=5²，

解得m=±4．

∵m＞0，

∴m=4．

∴B（0，4）．

∴OB=4．

∵直线AC⊥AB交y轴于点C，易得△BOA∽△AOC，

∴=．

∴CO===．

∵点C在y轴负半轴上，

∴C（0，﹣）．

设直线AC解析式为y=kx+b，

∵A（﹣3，0），C（0，﹣），

∴，

解得，

∴y=﹣x﹣；

（2）F₁（，）、F₂（﹣，）、F₃．（﹣，2）；

（3）分两种情况：第一种情况：当0≤t≤5时，

如图，作ED⊥FG于D，则ED=d．

由题意，FG∥AC，

∴=，

∵AF=t，AB=5，

∴BF=5﹣t．

∵B（0，4），

∴BC=4+=．

∴=．

∴BG=（5﹣t）．

∵OE=0.8t，OB=4，

∴BE=4﹣0.8t．

∴EG=（5﹣t）﹣（4﹣0.8t）=﹣t．

∵FG⊥AB，ED⊥FG，

∴∠GDE=∠GFB=90°．

∴ED∥AB．

∴=．

∴=．

∴d=﹣t+．

第二种情况：当t＞5时，

如图（2），

作ED⊥FG于D，则ED=d，

则题意，FG∥AC，

∴=．

∵AF=t，AB=5，

∴BF=t﹣5．

∵B（0，4），C（0，﹣），

∴BC=4+=．

∴=．

∴BG=（t﹣5）．

∵OE=0.8t，OB=4，

∴BE=0.8t﹣4，EG=（t﹣5）﹣（0.8t﹣4），

=t﹣．

∵FG⊥AB，ED⊥FG，∠GDE=∠GFB=90°，

∴ED∥AB．

∴=．

∴=．

∴d=t﹣．

考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．

点评：此题考查了一次函数的综合；解题的关键是求出各点的坐标，再用各点的坐标求出解析式，注意（3）中分两种情况进行讨论，不要漏掉．