Question

14．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E．
（1）求证：△BEF∽△DBC．；
（2）若⊙O的半径为3，∠C=32°，求BE的长．（精确到0.01）

Answer 1

分析 （1）连接OB，由切线的性质得出OB⊥AE，故可得出∠OBE=∠EBF+∠CBO=90°．再由圆周角定理得出∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，故∠EBF=∠OBD．根据等腰三角形的性质可知∠OBD=∠CDB，故∠EBF=∠CDB，进而可得出结论；
（2）由（1）可知△BEF∽△DBC，所以∠OBE=90°，∠E=∠C．在Rt△BOE中，利用锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答 （1）证明：连接OB．
∵过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，
∴OB⊥AE，
∴∠OBE=∠EBF+∠CBO=90°．
∵CD为⊙O的直径
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，
∴∠EBF=∠OBD．
∵OB、OD是⊙O的半径，
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠CDB，
∴∠EBF=∠CDB．
∵OE∥BD，
∴∠EFB=∠CBD
∴△BEF∽△DBC．

（2）解：∵由（1）可知△BEF∽△DBC
∴∠OBE=90°，
∴∠E=∠C．
∵∠C=32°，
∴∠E=∠C=32°．
∵⊙O的半径为3，
∴OB=3．
在Rt△BOE中，∠OBE=90°，∠E=32°，OB=3，
∴tanE=$\frac{OB}{BE}$，即tan32°=$\frac{3}{BE}$，
∴BE=$\frac{3}{tan32°}$≈4.80．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．