Question

小明是个爱学习的孩子，他在一本数学课外读物上看到一道思考题：请将如图放置的边长为a的正方形ABCD和斜边为AE=2b（2b＜a）的等腰直角三角形FAE剪两刀，重新拼成一个面积为a²+b²的正方形。他找来硬纸片和剪刀进行探索。先在BA上选取点G，使BG=b，连结CG，剪下△BCG并绕点C顺时针旋转90°到△CDH的位置，接下来的问题是：

（1）EH的长是多少？（用含a，b的式子表示）
（2）能否将△AGF剪下，绕点F旋转到△EHF的位置？（求证：△AGF≌△EHF）
（3）四边形GCHF是正方形吗？面积是否为a²+b²。
请你与小明一起解答以上问题，并说明小明的探索是否成功？

Answer 1

解：（1）∵AD=AB=a，DH=BG=b，AE=2b
∴EH=AD+DH―AE=a+b―2b=a―b；
（2）∵AG=AB―BG=a―b，EH=a―b
∴AG=EH
∵∠FAG=45°+90°=135°，∠FEH=180°-45°=135°
∴∠FAG=∠FEH
∵△AFE是等腰直角三角形
∴AF=FE
在△AGF和△EHF中
∴△AGF≌△EHF，即能将△AGF绕F旋转到△EHF的位置；
（3）
作FI⊥AD，垂足为I
∵△AFE是等腰直角三角形
∴FI是斜边上的中线
∴FI=IE=AE=·2b=b
∴IH=IE+EH=b+a-b=a
∴FI=DH=b，IH=DC=a
又∵∠FIH=HDC=90°
∴△FIH≌△HDC（SAS）
∴FH=HC①
∵△AGF≌△EHF，△BCG绕点C顺时针旋转90°到△CDH的位置
∴FG=FH②，GC=HC③
由①②③得FH=HC=CG=FG
∴四边形FHCG是菱形
又由△AGF≌△EHF得：∠1=∠2
∠1+∠GFE=∠2+∠GFE=Rt∠
∴四边形FHCG是正方形
在Rt△BCG中，根据勾股定理：GC²= BC²+BG²=a²+b²
∴正方形GCHF的面积= GC²= a²+b²
∴小明的探索能成功。