【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1,0),B(3,0),点M,N为抛物线上的动点,过点M作MD∥y轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.
(1)求抛物线的表达式;
(2)过点N作NF⊥x轴,垂足为点F,若四边形MNFE为正方形(此处限定点M在对称轴的右侧),求该正方形的面积;
(3)若∠DMN=90°,MD=MN,直接写出点M的坐标.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)正方形的面积为24+8或24-8;(3)点M的坐标为(,)或(2,3)或(-1,0)或(,).
【解析】
(1)根据点在抛物线图像上,将点代入解析式,待定系数法解题,
(2)设点M坐标为(m,-m2+2m+3),分别表示出ME=|-m2+2m+3|,MN=2m-2,由四边形MNFE为正方形得ME=MN,列方程,分类讨论即可求解,
(3)先求出直线BC解析式,设点M的坐标为(a,-a2+2a+3),表示出点N和点D坐标,由MD=MN,列方程,分类讨论即可求解.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1,0),B(3,0),
∴,
解得:,
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3;
(2)由(1)知,抛物线的对称轴为x=-=1,
如图,设点M坐标为(m,-m2+2m+3),
∴ME=|-m2+2m+3|,
∵M、N关于x=1对称,且点M在对称轴右侧,
∴点N的横坐标为2-m,
∴MN=2m-2,
∵四边形MNFE为正方形,
∴ME=MN,
∴|-m2+2m+3|=2m-2,
分两种情况:
①当-m2+2m+3=2m-2时,解得:m1=、m2=-(不符合题意,舍去),
当m=时,正方形的面积为(2-2)2=24-8;
②当-m2+2m+3=2-2m时,解得:m3=2+,m4=2-(不符合题意,舍去),
当m=2+时,正方形的面积为[2(2+)-2]2=24+8;
综上所述,正方形的面积为24+8或24-8.
(3)设BC所在直线解析式为y=kx+b,
把点B(3,0)、C(0,3)代入表达式,得:
,解得:,
∴直线BC的函数表达式为y=-x+3,
设点M的坐标为(a,-a2+2a+3),则点N(2-a,-a2+2a+3),点D(a,-a+3),
①点M在对称轴右侧,即a>1,
则|-a+3-(-a2+2a+3)|=a-(2-a),即|a2-3a|=2a-2,
若a2-3a≥0,即a≤0或a≥3,a2-3a=2a-2,
解得:a=或a=<1(舍去);
若a2-3a<0,即0<a<3,a2-3a=2-2a,
解得:a=-1(舍去)或a=2;
②点M在对称轴左侧,即a<1,
则|-a+3-(-a2+2a+3)|=2-a-a,即|a2-3a|=2-2a,
若a2-3a≥0,即a≤0或a≥3,a2-3a=2-2a,
解得:a=-1或a=2(舍);
若a2-3a<0,即0<a<3,a2-3a=2a-2,
解得:a=(舍去)或a=;
综上,点M的坐标为(,)或(2,3)或(-1,0)或(,).
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【题目】如图,AC是⊙O的直径,BC交O于点D,E是弧CD的中点,连接AE交BC于点F,∠ABC=2∠EAC.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若 tanB=,BD=6,求CF的长.
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【题目】《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是________步.
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【题目】春节期间,某商场计划购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?
(2)商场决定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共100件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润.
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【题目】如图,在ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB延长线于点E,连接BD,EC.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠A=50°,则当∠BOD= ______ °时,四边形BECD是矩形.
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【题目】阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:尺规作图:作已知角的角平分线.已知:如图,∠BAC.求作:∠BAC的角平分线AP.
小欣的作法如下:
(1)如图,在平面内任取一点O;
(2)以点O为圆心,AO为半径作圆,交射线AB于点D,交射线AC于点E;
(3)连接DE,过点O作射线OP垂直于线段DE,交⊙O于点P;
(4)过点P作射线AP.
所以射线AP为所求
根据小欣设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵OPDE
∴ =______(________________________)(填推理的依据),
∴∠BAP=______ (________________________)(填推理的依据).
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【题目】如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EFDE.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)连接AF交DE于点M,若 AD4,DE5,求DM的长.
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【题目】如图,已知抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.下列判断:
①当x>0时,y1>y2; ②当x<0时,x值越大,M值越小;
③使得M大于2的x值不存在; ④使得M=1的x值是或.
其中正确的是( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
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【题目】如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点,且BC=2AF。
(1)求证:四边形ADEF为矩形;
(2)若∠C=30°、AF=2,写出矩形ADEF的周长。
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