Question

某专卖店专销某种品牌的电子产品，进价12元/只，售价20元/只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.1元（例如，某人买20只，于是每只降价0.1×（20-10）=1元，这样就可以按19元/只的价格购买这20只产品），但是最低价为16元/只．
（1）若顾客想以最低价购买的话，一次至少要买多少只？
（2）若x表示顾客购买该产品的数量，y表示专卖店获得的利润，求y与x的函数关系式；并求出专卖店一次共获利润180元时，该顾客此次所购买的产品数量．
（3）有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专卖店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少．为了使每次卖的多赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元/只至少要提高到多少元/只？

Answer 1

【答案】分析：（1）理解促销方案，正确表示售价，得方程求解；
（2）因为设了最低价，所以超过一定数量也按最低价销售，不再打折，所以需分类讨论；
（3）根据函数性质解释现象，进一步解决问题．
解答：解：（1）设需要购买x只，
则20-0.1（x-10）=16（2分）
得x=50
∴一次至少要购买50只（3分）
（2）当0≤x≤10时，y=（20-12）x=8x，即y=8x，
把y=180代入，解得x=22.5（舍去）；
当10＜x≤50时，y=[20-12-0.1（x-10）]x，即y=-0.1x²+9x（4分）
把y=180代入，解得x₁=30，x₂=60（舍去）；（5分）
当x＞50时，y=（16-12）x，即y=4x（6分）
把y=180代入，解得x=45（舍去）．
∴该顾客此次所购买的数量是30只（7分）
（3）当0＜x≤50时，y=-0.1x²+9x（10＜x≤50），
当时，y有最大值202.5元；
此时售价为20-0.1×（45-10）=16.5（元）（8分）
当45＜x≤50时，y随着x的增大而减小（9分）
∴最低价至少要提高到16.5元/只．（10分）
点评：此题运用了函数的对称性讨论最大值问题，需考虑自变量的取值范围．