Question

10．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连结EF．
（1）试说明DE+BF=EF：
解：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合．由旋转可得AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．
∴点G、B、F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°，∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
∴∠GAF=∠EAF．
又∵AG=AE，AF=AF．
∴△GAF≌△EAF．
∵GF=EF．
∴DE+BF=BG+BF=GF=EF．
（2）类比引申：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D=180°时，有EF=BE+DF．并写出推理过程．

Answer 1

分析 （1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，根据全等得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，求出∠FAG=∠FAE，证出△AFG≌△AFE即可；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，根据全等得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，求出∠FAG=∠FAE，证出△AFG≌△AFE即可；

解答 解：（1）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合．由旋转可得AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．
∴点G、B、F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°，∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
∴∠GAF=∠EAF．
又∵AG=AE，AF=AF．
∴△GAF≌△EAF．
∵GF=EF．
∴DE+BF=BG+BF=GF=EF．
故答案为：EAF，△EAF，GF；

（2）
当∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，
理由是：∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠FAG=∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°，
∴∠FAG=∠FAE，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFG和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠FAG=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF=FG=BE+DF，
故答案为：∠B+∠D=180°；

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，证明过程类似．